[论文解读] Graded manifolds and Drinfeld doubles for Lie bialgebroids

Theodore Voronov|arXiv (Cornell University)|May 29, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文引入了具有 $\mathbb{Z}$-分次（权重）的加权流形，该分次独立于奇偶性，并利用余切丛 $T^*M$ 配备同调向量场与一致权重的施陶顿括号，为加权 $QS$- 和 $QP$-流形（李双胚丛的推广）构造了德林费尔德双代数。该构造在限制到李双代数时恢复了德林费尔德双代数，并通过 $QP$-流形将之推广至奇李双代数，包括在 $\mathfrak{q}(n)$ 上构造了一种新的奇李双代数结构。

ABSTRACT

We define extit{graded manifolds} as a version of supermanifolds endowed with an additional $\mathbb Z$-grading in the structure sheaf, called extit{weight} (not linked with parity). Examples are ordinary supermanifolds, vector bundles over supermanifolds, double vector bundles, iterated constructions like $TTM$, etc. I give a construction of extit{doubles} for extit{graded} $QS$- and extit{graded $QP$-manifolds} (graded manifolds endowed with a homological vector field and a Schouten/Poisson bracket). Relation is explained with Drinfeld's Lie bialgebras and their doubles. Graded $QS$-manifolds can be considered, roughly, as ``generalized Lie bialgebroids''. The double for them is closely related with the analog of Drinfeld's double for Lie bialgebroids recently suggested by Roytenberg. Lie bialgebroids as a generalization of Lie bialgebras, over some base manifold, were defined by Mackenzie and P. Xu. Graded $QP$-manifolds give an {odd version} for all this, in particular, they contain ``odd analogs'' for Lie bialgebras, Manin triples, and Drinfeld's double.

研究动机与目标

• 为解决长期以来在李双胚丛上定义德林费尔德双代数的问题，因为先前的构造无法产生一致的李双胚丛结构。
• 通过引入基于带权重分次的加权流形的新几何框架，将德林费尔德双代数构造从李双代数推广至李双胚丛。
• 通过引入 $QP$-流形，将理论推广至奇结构，构造李超代数的奇类德林费尔德双代数。
• 提供一个统一的几何框架，使得余切丛上的同调向量场、施陶顿括号与辛结构对应于李双代数数据。

提出的方法

• 将加权流形定义为在结构层中具有额外 $\mathbb{Z}$-分次（权重）的超流形，该分次独立于奇偶性，以推广超流形与向量丛。
• 引入 $QS$-流形（具有权重为 $q$ 的同调向量场 $\hat{Q}$ 和权重为 $s$ 的相容施陶顿括号）与 $QP$-流形（具有同调向量场与泊松括号），作为广义李双胚丛的几何模型。
• 将双代数 $DM = T^*M$ 构造为加权流形 $M$ 的余切丛，配备自然定义的同调向量场 $\hat{Q}_D$，其权重与 $\hat{Q}$ 相同，均为 $q$。
• 通过 $M$ 上的线性联络定义 $DM$ 上的‘近似’施陶顿括号，当为线性结构时，该括号成为真正的施陶顿括号。
• 证明当限制到线性结构时，该双代数构造可恢复经典德林费尔德双代数。
• 通过考虑 $QP$-流形将框架推广至奇结构，从而构造奇李双代数及其双代数，以 $\mathfrak{q}(n)$ 为例。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在先前尝试均未能产生李双胚丛结构的前提下，为李双胚丛定义一个一致的德林费尔德双代数构造？
• RQ2 如何将经典德林费尔德双代数从李双代数推广至基流形上的李双胚丛？
• RQ3 $\mathbb{Z}$-分次（权重）在超流形结构中的作用是什么，它与 $\mathbb{Z}_2$-分次（奇偶性）有何不同？
• RQ4 德林费尔德双代数的概念能否推广至奇（超）几何结构，如奇李双代数？
• RQ5 在李双胚丛的背景下，同调向量场与施陶顿/泊松括号之间的相容性具有何种几何意义？

主要发现

• 加权 $QS$-流形 $M$ 的双代数 $DM = T^*M$ 携带一个自然定义的同调向量场 $\hat{Q}_D$，其权重与原始 $\hat{Q}$ 相同，均为 $q$，从而保持了几何结构。
• 对于李双代数，$T^*M$ 上的双代数构造恢复了经典德林费尔德双代数，包括完整的李双胚丛结构。
• 施陶顿括号在 $DM$ 上仅在直线性（李双代数）情况下满足雅可比恒等式；一般情况下，它仅为‘近似’施陶顿括号。
• 该框架可推广至 $QP$-流形，从而得到德林费尔德双代数的奇类形式，并实现奇李双代数的构造。
• 在李超代数 $\mathfrak{q}(n)$ 上显式构造了一种奇李双代数结构，暗示其可量化为带有奇参数 $\varepsilon$ 的量子超群 $GQ_\varepsilon(n)$。
• 构造了 $\Pi T^*E$ 与 $\Pi T^*(\Pi E^*)$ 之间的典范微分同胚，保持奇辛形式，这构成了双代数构造中对偶性的基础。