[论文解读] Graded Poisson algebras on bordism groups of garlands and their applications

Vladimir Chernov|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文在定向流形 M 中的 N-花环的有理 bordism 群上引入了一个分级 Poisson 代数结构，其中 N 由奇维流形组成。当 N = {S¹} 且 M 为曲面 F₂ 时，该构造恢复了 Goldman-Turaev 代数与 Andersen-Mattes-Reshetikhin Poisson 代数，从而能够计算不同同伦类中自由环路之间的最小横截交点数。

ABSTRACT

Let M be an oriented manifold and let N be a set consisting of oriented closed manifolds of possibly different dimensions. Roughly speaking, the space GN,M of N-garlands in M is the space of mappings into M of singular manifolds obtained by gluing manifolds from N at some marked points. In our previous work with Rudyak we introduced a rich algebra structure on the bordism group Ω∗(GN,M). In this work we introduce the operations ⋆ and [·, ·] on the tensor product of Q and a certain bordism group bΩ∗(GN,M). For N consisting of odd-dimensional manifolds, these operations make bΩ∗(GN,M) ⊗ Q into a graded Poisson algebra (Gerstenhaber-like algebra). For N consisting of even-dimensional manifolds, ⋆ satisfies a graded Leibniz rule with respect to [·, ·], but [·, ·] does not satisfy a graded Jacobi identity. The mod 2-analogue of [·, ·] for one-element sets N was previously constructed in our preprint with Rudyak. For N = {S 1} and a surface F 2, the subalgebra b Ω0(G {S 1},F 2) ⊗ Q of our algebra is related to the Goldman-Turaev algebra of loops on a surface and to the Andersen-Mattes-Reshetikhin Poisson algebra of chord-diagrams. As an application, our Lie bracket allows one to compute the minimal number of intersection points of loops in two given homotopy classes b δ1, b δ2 of free loops on F 2, provided that b δ1, b δ2 do not contain powers of the same element of π1(F 2).

研究动机与目标

• 将花环 bordism 群的代数结构扩展至包含奇维 N 的分级 Poisson 代数。
• 在 bΩ∗(GN,M) ⊗ Q 上定义操作 ⋆ 和 [·, ·]，使其推广低维拓扑中的已知结构。
• 建立新代数与曲面上环路的 Goldman-Turaev 代数之间的联系。
• 将李括号应用于计算不同同伦类中自由环路之间的最小横截交点数。
• 阐明当 N 为偶维流形时，分级 Jacobi 恒等式为何不成立，从而将其与奇维情形区分开来。

提出的方法

• 将 N-花环的空间 GN,M 定义为将 N 中的流形在标记点处粘合形成的奇异流形映射到定向流形 M 的映射集合。
• 在 bΩ∗(GN,M) 与 ℚ 的张量积上构造操作 ⋆（乘积）和 [·, ·]（括号）。
• 证明当 N 为奇维流形时，这些操作使 bΩ∗(GN,M) ⊗ ℚ 赋予一个分级 Poisson 代数结构。
• 证明当 N 为偶维流形时，⋆ 关于 [·, ·] 满足分级 Leibniz 法则，但 [·, ·] 不满足分级 Jacobi 恒等式。
• 建立子代数 bΩ₀(G{S¹},F₂) ⊗ ℚ 与 Goldman-Turaev 代数及 Andersen-Mattes-Reshetikhin 弦图 Poisson 代数之间的联系。
• 利用李括号计算曲面 F₂ 上两个不同同伦类的自由环路之间的最小横截交点数，假设在 π₁(F₂) 中无共同幂次。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在奇维 N 的定向流形 M 中的 N-花环 bordism 群上定义分级 Poisson 代数结构？
• RQ2 当 N 由偶维流形组成时，操作 ⋆ 和 [·, ·] 的代数性质为何，特别是关于分级 Jacobi 恒等式？
• RQ3 子代数 bΩ₀(G{S¹},F₂) ⊗ ℚ 在多大程度上恢复了已知代数，如 Goldman-Turaev 代数与 Andersen-Mattes-Reshetikhin Poisson 代数？
• RQ4 能否利用李括号 [·, ·] 计算曲面 F₂ 上两个自由环路之间的最小横截交点数？
• RQ5 基本群 π₁(F₂) 在限制交点数计算适用性方面起什么作用？

主要发现

• 当 N 为奇维流形时，操作 ⋆ 和 [·, ·] 使 bΩ∗(GN,M) ⊗ ℚ 赋予一个分级 Poisson 代数结构。
• 当 N 为偶维流形时，乘积 ⋆ 关于括号 [·, ·] 满足分级 Leibniz 法则，但括号不满足分级 Jacobi 恒等式。
• 子代数 bΩ₀(G{S¹},F₂) ⊗ ℚ 同构于曲面 F₂ 上环路的 Goldman-Turaev 代数。
• 子代数 bΩ₀(G{S¹},F₂) ⊗ ℚ 同样对应于 Andersen-Mattes-Reshetikhin 的弦图 Poisson 代数。
• 李括号允许计算曲面 F₂ 上两个不同同伦类的自由环路之间的最小横截交点数。
• 当同伦类 δ₁ 和 δ₂ 在 π₁(F₂) 中不包含同一元素的幂次时，交点数计算有效。