[论文解读] Graphical Regular Logic

Brendan Fong, David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文引入图形化正则逻辑作为正则逻辑的图示语法，使用源自自由正则范畴的弦图。它建立了正则范畴与正则演算之间的范畴对偶性——即从自由正则范畴中的关系双范畴到偏序集的张量2-函子——证明正则范畴范畴在正则演算范畴中本质上是反射的，通过一个伴随关系实现，其中prd函子全忠实，syn函子本质满射。

ABSTRACT

Regular logic can be regarded as the internal language of regular categories, but the logic itself is generally not given a categorical treatment. In this paper, we understand the syntax and proof rules of regular logic in terms of the free regular category $\mathsf{FRg}(\mathrm{T})$ on a set $\mathrm{T}$. From this point of view, regular theories are certain monoidal 2-functors from a suitable 2-category of contexts---the 2-category of relations in $\mathsf{FRg}(\mathrm{T})$---to the 2-category of posets. Such functors assign to each context the set of formulas in that context, ordered by entailment. We refer to such a 2-functor as a regular calculus because it naturally gives rise to a graphical string diagram calculus in the spirit of Joyal and Street. Our key aim to prove that the category of regular categories is essentially reflective in that of regular calculi. Along the way, we demonstrate how to use this graphical calculus.

研究动机与目标

• 通过基于自由正则范畴的范畴结构形式化正则逻辑的语法与推理规则。
• 将正则演算定义为从自由正则范畴中的关系双范畴到偏序集的张量2-函子，以捕捉推理关系与逻辑结构。
• 证明正则演算为正则逻辑提供了一种自然的图示演算，受Joyal与Street的弦图启发。
• 建立正则范畴与正则演算之间的对偶性，表明正则范畴在正则演算范畴中本质上是反射的。

提出的方法

• 在种类集合T上构造自由正则范畴FRg(T)，作为FRg副本的余积，其中对象表示上下文，态射通过余积上的等价关系表示关系。
• 定义关系双范畴RelFRg(T)，其对象为“外壳”——带有标记端口和支撑对象s的有限集，态射为编码余关系的布线图。
• 将上下文中的公式表示为偏序集的元素，推理关系以序关系表示，并将正则演算定义为保持结构的张量2-函子P: FRg(T) → Poset。
• 引入函子syn: RgCalc → RgCat，为每个正则演算P分配其P-图形项的正则范畴RP，其中态射由推理关系定义。
• 定义函子prd: RgCat → RgCalc，将每个正则范畴R映射到其关联的正则演算(Ob R, SubR⌜−⌝)，以捕捉每个上下文中的子对象格。
• 证明prd与syn构成伴随对，其中prd全忠实，且单位syn(prd(R)) → R为等价，从而确立本质反射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从自由正则范畴中的范畴构造系统地推导出正则逻辑的语法与推理规则？
• RQ2 在函子P: FRg(T) → Poset上何种范畴结构足以从其逻辑内容重构出正则范畴？
• RQ3 能否自然地从正则范畴及其内部逻辑的结构导出一种图示弦图演算？
• RQ4 正则范畴范畴与正则演算范畴之间是否存在对偶性？若存在，其性质为何？
• RQ5 能否通过一个典范等价关系，从其关联的正则演算完全恢复正则范畴的内部逻辑？

主要发现

• 正则范畴范畴在正则演算范畴中本质上是反射的，伴随关系prd ⊣ syn建立了对偶性。
• 函子syn: RgCalc → RgCat通过构建基于P-图形项及其推理关系的范畴，从任意正则演算P构造出一个正则范畴。
• 函子prd: RgCat → RgCalc将每个正则范畴R映射到正则演算(Ob R, SubR⌜−⌝)，以编码每个上下文中的子对象格。
• 伴随关系的单位ǫ: syn(prd(R)) → R为等价，表明每个正则范畴均可从其逻辑内容中恢复。
• 函子prd全忠实，意味着正则范畴的逻辑结构完全决定了其范畴结构（至等价）。
• 通过函子F♯保持推理关系与等式，证明了正则逻辑的图示演算在语义上是可靠且完备的，如引理8.2所形式化。