[论文解读] Green Functions and Radiation Reaction From a Spacetime Perspective

Barry Wardell|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2009

Relativity and Gravitational Theory参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文提出了一种将匹配展开方法新颖地应用于弯曲时空中标量自力计算的新方法，利用阿夫拉米迪方法导出的张量传输方程。该方法在Nariai时空中实现了自力的完整计算，揭示了非局部效应，并为施瓦茨希尔兹时空和LISA任务中的引力波建模提供了可应用的框架。

ABSTRACT

The basis of this work is the first full application of the Poisson-Wiseman-Anderson method of `matched expansions' to compute the self-force acting on a point particle moving in a curved spacetime. The method employs two expansions for the Green function which are respectively valid in the `quasilocal' and `distant past' regimes, and which are matched together within the normal neighborhood. Building on a fundamental insight due to Avramidi, we provide a system of transport equations for determining key fundamental bi-tensors, including the tail-term, V(x,x'), appearing in the Hadamard form of the Green function. These bitensors are central to a broad range of problems from radiation reaction and the self-force to quantum field theory in curved spacetime and quantum gravity. Using their transport equations, we show how the quasilocal Green function may be computed throughout the normal neighborhood both numerically and as a covariant Taylor series expansion. These calculations are carried out for several black hole spacetimes. Finally, we present a complete application of the method of matched expansions. The calculation is performed in a static region of the spherically symmetric Nariai spacetime (dS_2 X S^2), where the matched expansion method is applied to compute the scalar self-force acting on a static particle. We find that the matched expansion method provides insight into the non-local properties of the self-force. The Green function in Schwarzschild spacetime is expected to share certain key features with Nariai. In this way, the Nariai spacetime provides a fertile testing ground for developing insight into the non-local part of the self-force on black hole spacetimes.

研究动机与目标

• 通过分析其几何和非局部性质，更深入理解弯曲时空中的自力。
• 将Poisson-Wiseman-Anderson的匹配展开方法应用于非平凡时空几何中的自力计算。
• 建立一个系统性框架，利用传输方程计算关键双标量，如$V(x,x')$和范维克行列式。
• 以球对称的Nariai时空为原型，测试该方法在静态、球对称时空中的表现。
• 为极端质量比旋进和LISA探测中相关的非局部、尾部影响成分提供洞见。

提出的方法

• 采用匹配展开方法，将格林函数的拟局部展开与远端过去展开在法坐标邻域内匹配。
• 利用阿夫拉米迪的传输方程，通过协变泰勒级数和数值积分，计算基本双标量，包括$V(x,x')$、$\Delta^{1/2}$和$\sigma^{a'}_{~b'c'd'}$。
• 推导并求解沿测地线的双标量的一阶微分方程组，实现协变展开的递归计算。
• 应用帕德逼近方法，将协变级数的收敛域扩展至法坐标邻域之外。
• 利用格林函数的Hadamard形式及其在零测地线和焦散点附近的渐近行为，验证结果的正确性。
• 在Nariai时空（$dS_2 \times \mathbb{S}^2$）中进行显式计算，该时空为静态、球对称时空，具有明确定义的测地线和焦散点。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过格林函数的匹配展开，在弯曲时空中标量自力进行系统性计算？
• RQ2 非局部、尾部影响成分在自力中起什么作用，它们如何在双标量$V(x,x')$中编码？
• RQ3 传输方程方法能否为任意时空中的格林函数和DeWitt系数提供一种稳健且协变的计算方法？
• RQ4 格林函数的结构，特别是其在焦散点处的奇点和相位跃迁，如何反映底层时空几何？
• RQ5 Nariai时空在多大程度上可作为理解施瓦茨希尔兹类黑洞时空中自力的可处理模型？

主要发现

• 匹配展开方法成功计算了Nariai时空中静止粒子的标量自力，确认了非局部、尾部贡献的存在。
• 推导并求解了双标量的传输方程，包括$V_0$和$V_r$，从而实现了拟局部格林函数的数值计算与协变级数展开。
• 格林函数由于穿越焦散点而表现出四重奇点结构，每次焦散点处相位跃迁为$\pi/2$，与零测地线传播的预期行为一致。
• 通过勒让德函数的渐近分析和泊松求和公式，得到一条沿测地线路径的求和，正确再现了零测地线附近的奇点结构和相位变化。
• Nariai时空提供了一个丰富的测试平台：其格林函数与施瓦茨希尔兹时空具有关键相似性，特别是在非局部自力分量方面。
• 帕德逼近显著扩展了协变级数的收敛域，使得在Nariai和施瓦茨希尔兹时空中均可可靠地将结果外推至法坐标邻域之外。