[论文解读] Ground states and semiclassical states of nonlinear Choquard equations involving Hardy-Littlewood-Sobolev critical growth

Daniele Cassani, Jianjun Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 31被引用 8

一句话总结

本文建立了具有 Hardy-Littlewood-Sobolev 临界增长的非线性 Choquard 方程的基态和半经典态的存在性。通过截断法和变分法，证明了当 Planck 常数趋于零时，单峰解会集中在 Schrödinger 势的极小值点处，且无需单调性条件或 Ambrosetti-Rabinowitz 条件。

ABSTRACT

We are concerned with the existence of ground states for nonlinear Choquard equations involving a critical nonlinearity in the sense of Hardy-Littlewood-Sobolev. Our result complements previous results by Moroz and Van Schaftingen where the subcritical case was considered. Then, we focus on the existence of semi-classical states and by using a truncation argument approach, we establish the existence and concentration of single peak solutions concentrating around minima of the Schrödinger potential, as the Planck constant goes to zero. The result is robust in the sense that the nonlinearity is not required to satisfy monotonicity conditions nor the Ambrosetti-Rabinowitz condition.

研究动机与目标

• 建立具有 Hardy-Littlewood-Sobolev 临界非线性的非线性 Choquard 方程基态解的存在性。
• 研究当 Planck 常数趋于零时半经典态的存在性与集中性。
• 在非线性项中去除对单调性条件或 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的依赖。
• 将先前在 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式意义下的次临界情形结果推广至临界增长情形。

提出的方法

• 通过定义有界截断 $ f_k(t) = \min\{f(t), k\} $ 的截断技术来处理临界非线性项。
• 利用变分法证明截断问题解的存在性，借助紧致性与山路结构。
• 应用局部椭圆估计与收敛性论证，表明截断问题的解在 $ \varepsilon $ 足够小时满足原方程。
• 利用集中-紧致性论证与尺度变换，分析当 $ \varepsilon \to 0 $ 时解的渐近行为。
• 利用 $ I_\alpha \ast F_k(w_\varepsilon) $ 在 $ L^\infty $ 中一致有界的事实，应用局部正则性估计。
• 构造一组以势 $ V $ 的极小值点为中心的近似解 $ U_\varepsilon^x $，并证明其在极限下收敛于基态。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有 Hardy-Littlewood-Sobolev 临界增长的非线性 Choquard 方程是否存在基态解？
• RQ2 能否构造出在 $ \varepsilon \to 0 $ 时集中于 Schrödinger 势极小值点的半经典解？
• RQ3 当非线性项不满足单调性或 Ambrosetti-Rabinowitz 条件时，解的存在性是否仍然成立？
• RQ4 临界增长条件 $ f(t)/t^{(\alpha+2)/(N-2)} \to 1 $ 在保证解存在性方面起什么作用？
• RQ5 截断法如何使我们能从截断问题的解中恢复原非线性问题的解？

主要发现

• 当 $ \alpha \in ((N-4)_+, N) $ 且 $ q > \max\left\{1 + \frac{\alpha}{N-2}, \frac{N+\alpha}{2(N-2)}\right\} $ 时，在条件 (F1)–(F3) 下，方程存在基态解。
• 仅靠 (F1) 和 (F2) 无法保证基态解的存在；条件 (F3) 至关重要，反例表明在无 (F3) 时可能不存在非平凡解。
• 半经典解存在，并在 $ \varepsilon \to 0 $ 时集中于势 $ V $ 的极小值点，峰值位置收敛于 $ \mathcal{M} $，即势极小值点的集合。
• 截断问题的解 $ v_\varepsilon $ 满足 $ \|v_\varepsilon\|_\infty < \kappa $，对足够小的 $ \varepsilon $ 成立，从而保证其满足原方程。
• 尺度变换后的解 $ w_\varepsilon(y) = v_\varepsilon(\varepsilon y + x_\varepsilon) $ 在 $ \varepsilon \to 0 $ 时于 $ H^1(\mathbb{R}^N) $ 中收敛于基态 $ U(\cdot + z_0) $。
• 该方法具有鲁棒性：不要求非线性项满足 Ambrosetti-Rabinowitz 条件或单调性假设。