[论文解读] Hamilton-Jacobi Theorems for Regular Controlled Hamiltonian System and Its Reductions

Yuesheng Wang|arXiv (Cornell University)|May 15, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 32被引用 7

一句话总结

本文建立了正则受控哈密顿系统（RCH）及其对称约化形式的类型 I 和类型 II 哈密顿-雅可比定理，采用典范辛形式与约化辛形式。该研究将几何哈密顿-雅可比理论推广至 RCH 系统及受控磁性哈密顿系统，证明了解在 RCH 等价关系下的不变性，并将结果应用于 SO(3) 和 SE(3) 推广形式下的约化刚体与重摆系统。

ABSTRACT

In this paper, we give precisely the geometric constraint conditions of canonical symplectic form and regular reduced symplectic forms for the dynamical vector fields of a regular controlled Hamiltonian (RCH) system and its regular reduced systems, which are called the Type I and Type II of Hamilton-Jacobi equations. At first, we first prove two types of Hamilton-Jacobi theorem for an RCH system on cotangent bundle of a configuration manifold, by using the canonical symplectic form and the dynamical vector field, which are the development of the two types of geometric version of Hamilton-Jacobi theorem for a Hamiltonian system given in Wang \cite{wa17}. Moreover, we also prove two types of Hamilton-Jacobi theorem for a controlled magnetic Hamiltonian (CMH) system by using the magnetic symplectic form and the magnetic Hamiltonian vector field. Secondly, we generalize the above results for a regular reducible RCH system with symmetry and momentum map, and prove two types of Hamilton-Jacobi theorems for the regular point reduced RCH system and the regular orbit reduced RCH system. Thirdly, we prove that the RCH-equivalence for the RCH system, and RpCH-equivalence and RoCH- equivalence for the regular reducible RCH systems with symmetries, leave the solutions of corresponding Hamilton-Jacobi equations invariant. Finally, as an application of the theoretical results, we show the Type I and Type II of Hamilton-Jacobi equations for the $R_p$-reduced controlled rigid body-rotor system and the $R_p$-reduced controlled heavy top-rotor system on the generalizations of rotation group SO(3) and Euclidean group SE(3), respectively. These researches reveal the deeply internal relationships of the geometrical structures of phase spaces, the dynamical vector fields and controls of the RCH system.

研究动机与目标

• 推导正则受控哈密顿（RCH）系统中典范辛形式与约化辛形式的几何约束条件。
• 利用动力向量场与辛结构，将哈密顿-雅可比理论推广至余切丛上的 RCH 系统。
• 通过引入磁性辛形式与磁性哈密顿向量场，将理论扩展至受控磁性哈密顿（CMH）系统。
• 在具有对称性与动量映射的条件下，建立正则点约化与轨道约化 RCH 系统的哈密顿-雅可比定理。
• 证明哈密顿-雅可比解在 RCH 等价关系及其对称形式（RpCH 与 RoCH 等价）下保持不变。

提出的方法

• 利用配置流形余切丛上的典范辛形式与动力向量场，建立类型 I 与类型 II 哈密顿-雅可比方程。
• 应用辛几何的几何框架，推导动力向量场与闭 1-形式像相切的条件。
• 通过引入磁性辛形式与磁性哈密顿向量场，将方法扩展至 CMH 系统。
• 通过动量映射实现对称性约化，构建正则点约化与轨道约化 RCH 系统。
• 证明 RCH 等价、RpCH 等价与 RoCH 等价关系保持相应哈密顿-雅可比方程解的不变性。
• 将理论结果应用于具体系统：广义 SO(3) 与 SE(3) 上的 R_p-约化受控刚体-旋翼系统与重摆-旋翼系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 RCH 系统中，典范辛形式与动力向量场需满足何种几何约束条件，才能使哈密顿-雅可比方程成立？
• RQ2 类型 I 与类型 II 哈密顿-雅可比定理如何推广至受控磁性哈密顿系统？
• RQ3 在何种条件下，哈密顿-雅可比方程的解在 RCH 等价及其对称变体下保持不变？
• RQ4 在具有对称性的 RCH 系统中，正则点约化与轨道约化下，辛结构与动力向量场如何变换？
• RQ5 R_p-约化受控刚体-旋翼系统与重摆-旋翼系统的哈密顿-雅可比方程的显式形式为何？

主要发现

• 本文利用典范辛形式与动力向量场，在余切丛上建立了 RCH 系统的两类哈密顿-雅可比定理。
• 通过引入磁性辛形式与磁性哈密顿向量场，将理论推广至受控磁性哈密顿系统。
• 作者证明了在对称 RCH 系统中，哈密顿-雅可比方程的解在 RCH 等价、RpCH 等价与 RoCH 等价下保持不变。
• 在广义旋转群上，明确推导出 R_p-约化受控刚体-旋翼系统的类型 I 与类型 II 哈密顿-雅可比方程。
• 在广义欧氏群 SE(3) 上，证明了 R_p-约化受控重摆-旋翼系统在所提框架下满足哈密顿-雅可比方程。
• 研究结果揭示了 RCH 系统中相空间结构、动力向量场与控制输入之间深刻的几何关系。