[论文解读] Hamiltonian consistency of the gravitational constraint algebra under deformations

José T. Gálvez Ghersi, Michael J. Desrochers+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文提出了一种通用框架，用于在保持引力约束代数的第一类结构的前提下，对广义相对论的规范变量（如度规或四维标架）进行形变，从而确保一致的规范动力学。该框架推导出在非典范形变且引入新自由度的情况下，仍能保持微分同胚不变性与稳定规范固定的一致性条件。

ABSTRACT

The importance of the first-class constraint algebra of general relativity is not limited just by its self-contained description of the gauge nature of spacetime, but it also provides conditions to properly evolve the geometry by selecting a gauge only once throughout the whole evolution of a gravitational system. This must be a property of all background independent theories. In this paper we consider gravitational theories which arise from deformations of the fundamental canonical variables of general relativity where the proposed deformations are inspired by modifications of gravity. These variable deformations result in new theories when the deformation is not a canonical transformation. The new theory must preserve the first-class structure of the algebra, which is a non-trivial restriction for generic deformations. In this vein we present a general deformation scheme along with consistency conditions, so that the algebra of constraints is still satisfied in the resulting theory. This is illustrated both in metric theory as well as in tetrad theory.

研究动机与目标

• 确保由规范变量的非典范修改所引起的形变引力理论，仍保持约束代数的第一类结构，这是实现一致规范动力学的关键。
• 解决规范变量的通用形变可能破坏约束代数闭合性的问题，否则将损害理论的一致性与规范固定稳定性。
• 提供一种系统性方法，适用于度规与四维标架形式的引力理论，包括引入或不引入额外自由度的情形。
• 通过确保在物质存在的情况下仍保持代数一致性，扩展现有方法（如环量子引力中的全息修正）。
• 证明可通过约束形变使额外自由度解耦或重新解释为戈尔德斯通模，从而保持物理一致性。

提出的方法

• 形式化哈密顿引力中规范变量（度规、四维标架、联络）的一般形变方案，将形变场视为原变量的函数。
• 利用经典力学从形变变量推导新的共轭动量，确保新变量构成有效的哈密顿系统。
• 计算形变后的标量、矢量与高斯约束的泊松括号，以确定代数闭合的条件。
• 将该形式化方法应用于爱因斯坦-希尔伯特作用量、使用四维标架变量的帕拉蒂尼作用量，以及阿什泰卡-巴博罗变量，识别出形变约束。
• 分析两种情形：(I) 不含高阶导数项的形变（除非为典范形变，否则洛夫洛克定理表明自由度数将改变）；(II) 引入新自由度的非幺正形变。
• 以迹为零的对称度规形变为具体例子，推导出标量与矢量约束保持规范不变性的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义相对论中，规范变量的形变在何种条件下能保持约束代数的第一类结构？
• RQ2 非典范形变如何在引入新自由度的同时，仍维持一致的规范动力学与微分同胚不变性？
• RQ3 对度规或四维标架形变必须施加何种约束，以确保标量与矢量约束保持闭合且规范不变？
• RQ4 环量子引力中的全息型修正能否在此框架中一致实现而不破坏约束代数？
• RQ5 当形变改变位移函数与时间演化函数时，约束代数会发生什么变化？系统如何仍能支持稳定的规范固定？

主要发现

• 本文推导出明确的一致性条件，表明即使形变非典范变换，形变后的引力理论仍能保持约束代数的第一类结构。
• 对于不含高阶导数项的形变，洛夫洛克定理表明，除非形变为平凡，否则仅典范变换能保持原始自由度数。
• 在引入新自由度的非幺正形变情形下，标量与矢量约束仅在形变满足由泊松括号闭合导出的特定代数约束时才保持一致。
• 以迹为零的对称度规形变为例，表明新哈密顿量需引入额外约束以维持规范不变性，这些约束可使额外自由度解耦，或将其重新解释为戈尔德斯通模。
• 该框架成功扩展至四维标架-帕拉蒂尼与阿什泰卡-巴博罗形式，表明类似的一致性条件适用，且全息修正可被一致嵌入。
• 分析证实，通过将额外项投影至高斯约束中，可在形变理论中保持约束代数不变，从而即使原始作用量被修改，也能实现一致的度规实现。