[论文解读] 'Hausdorff distance' via conical cocompletion

Isar Stubbe|ArXiv.org|Mar 16, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 10

一句话总结

该论文证明，在量化类范畴中，饱和权类恰好对应于自由完备化 KZ-理论的全子 KZ-理论，且锥形权构成此类的一个例子。由此产生的 KZ-理论将 Hausdorff 距离构造推广至量化类范畴，通过 enriched colimits 和伴随性条件，为广义度量距离提供了范畴论基础。

ABSTRACT

In the context of quantaloid-enriched categories, we explain how each saturated class of weights defines, and is defined by, an essentially unique full sub-KZ-doctrine of the free cocompletion KZ-doctrine. The KZ-doctrines which arise as full sub-KZ-doctrines of the free cocompletion, are characterised by two simple "fully faithfulness" conditions. Conical weights form a saturated class, and the corresponding KZ-doctrine is precisely (the generalisation to quantaloid-enriched categories of) the Hausdorff doctrine of [Akhvlediani et al., 2009].

研究动机与目标

• 通过自由完备化 KZ-理论的全子 KZ-理论，刻画量化类范畴中饱和权类的特征。
• 识别出 KZ-理论作为全子 KZ-理论出现的充要条件——以两个“全忠实”性质表达。
• 证明锥形权构成一个饱和类，从而产生一个广义的 Hausdorff KZ-理论。
• 为 enriched 圈范畴理论中 Hausdorff 距离构造提供一个范畴论框架，其适用范围超越度量空间。
• 为在对合量化类中推广此类构造至 Gromov 距离奠定基础，尽管本工作未进一步探讨此方向。

提出的方法

• 利用 KZ-理论及其全子 KZ-理论的理论，刻画量化类范畴中完备化过程的特征。
• 应用饱和权类的概念，其中每个类通过 enriched colimit 的普遍性质唯一定义一个 KZ-理论。
• 在量化类范畴的 2-范畴中，利用伴随性条件定义“全忠实”性质，以刻画相关 KZ-理论。
• 将锥形完备化的通用框架应用于证明：锥形权生成一个与 Hausdorff 理论同构的 KZ-理论。
• 利用具有左伴随分量的分配器对应于 Cauchy 预层的事实，并证明此类预层的类是饱和的。
• 借助自由完备化的普遍性质以及量化类中 sup-格的结构，推导出饱和类与 KZ-理论之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些定义在量化类范畴上的 KZ-理论可作为自由完备化 KZ-理论的全子 KZ-理论？
• RQ2 如何通过 KZ-理论刻画量化类范畴中饱和权类的特征？
• RQ3 enriched 圈范畴中 Hausdorff 距离的范畴结构是什么？其如何推广至度量空间之外？
• RQ4 能否证明锥形权构造可定义一个饱和类？它生成的 KZ-理论是什么？
• RQ5 何种条件可确保一个定义在量化类范畴上的 KZ-理论在保持基本结构的意义上是全忠实的？

主要发现

• 量化类范畴中每个饱和权类均唯一对应一个自由完备化 KZ-理论的全子 KZ-理论，反之亦然。
• 作为自由完备化 KZ-理论的全子 KZ-理论的 KZ-理论，其特征由其分量上的两个简单“全忠实”条件所刻画。
• 锥形权类是饱和的，其对应的 KZ-理论在量化类范畴上推广了先前在交换量化类上定义的 Hausdorff 理论。
• 当限制在锥形权类时，所得 Hausdorff KZ-理论将每个范畴映射为其 Cauchy 完备化，与 enriched 圈范畴理论中的已知构造一致。
• 该框架为广义度量设定中的 Hausdorff 距离提供了范畴论基础，将 Lawvere 的度量空间 enriched 推广至量化类范畴。
• 本文建立了一种从饱和类推导 KZ-理论的一般机制，锥形权是其中的关键例子，且提示在对合量化类下，Gromov 距离亦可在此框架中发展。