[论文解读] Hecke and Galois Properties of Special Cycles on Unitary Shimura Varieties

Dimitar Jetchev|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文为单位群 $\operatorname{\mathbf{U}}(2,1)\times\operatorname{\mathbf{U}}(1,1)$ 的单位双曲线志模簇构造了一个欧拉系特殊循环，通过布雷厄特-蒂茨复形与局部赫克代数，建立了赫克作用与伽罗瓦作用之间的显式分布关系。主要贡献在于提出了一类新的欧拉系，为附着于单位群自守形式的伽罗瓦表示提供了贝克-卡托-贝利林猜想的新实例。

ABSTRACT

We define and study a collection of special cycles on certain non-PEL Shimura varieties for $U(2,1) imes U(1,1)$ that appear naturally in the context of the recent conjectures of Gan, Gross and Prasad on restrictions of automorphic forms for unitary groups and conjectural generalizations of the Gross--Zagier formula. We prove a combinatorial formula expressing the Galois action in terms of the distance function on the Bruhat--Tits buildings for these groups. In addition, we calculate explicitly the Hecke polynomial appearing in the congruence relation conjectured by Blasius and Rogawski. Using methods and recent results of Koskivirta, we prove the congruence relation in this case. Finally, using the action of the local Hecke algebra on the Bruhat--Tits building, we establish explicit relations (distribution relations) between the Hecke action and the Galois action on the special cycles. These relations are key for a work in progress by the author on constructing a new Euler system from these cycles and using it to prove instances of the Bloch{Kato{ Beilinson conjecture for certain Galois representations associated to automorphic forms on unitary groups.

研究动机与目标

• 为非-PEL型单位双曲线志模簇上的高维特殊循环构造欧拉系，针对 $\operatorname{\mathbf{U}}(2,1)\times\operatorname{\mathbf{U}}(1,1)$，受格罗斯-察吉耶尔与甘-格罗斯-普拉萨德猜想的启发。
• 通过布雷厄特-蒂茨复形的几何结构，建立局部赫克代数作用与这些循环上伽罗瓦作用之间的分布关系。
• 显式计算 $\operatorname{\mathbf{U}}(2,1)\times\operatorname{\mathbf{U}}(1,1)$ 情况下布拉斯ius-罗高夫斯基同余关系中的赫克多项式。
• 提供一个新欧拉系，可用于研究塞尔默群，并证明自守伽罗瓦表示的贝克-卡托-贝利林猜想的新实例。
• 通过 $p$-进阿贝尔-雅可比映射与上同调类，将科利瓦金风格的欧拉系技术推广至高秩单位群。

提出的方法

• 通过签名 $(n-1,1)$ 与 $(n,0)$ 的厄米特空间在单位双曲线志模簇上定义特殊循环，以 $n=3$ 为主要情形。
• 利用布雷厄特-蒂茨复形，将伽罗瓦作用在循环上的表现用固定非分歧素点 $\tau$ 处的单位根的距禿函数表示。
• 应用局部赫克代数 $\mathcal{H}(G_\tau, K_\tau)$ 计算循环上的作用，并通过阿廷映射将其与伽罗瓦共轭联系起来。
• 通过证明在局部赫克代数与分解群的可交换作用下，伽罗瓦共轭循环的重数相等，建立赫克作用与伽罗瓦作用之间的分布关系。
• 使用迹映射 $\operatorname{Tr}_{n,m}$ 定义具有局部导子 $\varpi^n$ 的循环的精确迹，类比于赫根点理论中的环类域迹。
• 应用萨塔克变换与互反律，验证所得循环组合位于迹映射 $\operatorname{Tr}_{2,0}$ 的像中，从而证明欧拉系性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过布雷厄特-蒂茨复形几何地表达单位双曲线志模簇上特殊循环的伽罗瓦作用？
• RQ2 $\operatorname{\mathbf{U}}(2,1)\times\operatorname{\mathbf{U}}(1,1)$ 情况下，布拉斯ius-罗高夫斯基同余关系中的赫克多项式具有何种显式形式？
• RQ3 局部赫克代数与分解群在特殊循环上的作用是否满足分布关系，从而蕴含欧拉系性质？
• RQ4 所得循环类是否可用于构造与单位群自守形式相关的伽罗瓦表示的塞尔默群中的上同调类？
• RQ5 这些关系在多大程度上可将科利瓦金的赫根点欧拉系列推广至高秩单位群？

主要发现

• 伽罗瓦作用通过在固定非分歧素点 $\tau$ 处的 $\operatorname{\mathbf{U}}(V)\times\operatorname{\mathbf{U}}(W)$ 的布雷厄特-蒂茨复形上的距禿函数表达。
• 在 $\operatorname{\mathbf{U}}(2,1)\times\operatorname{\mathbf{U}}(1,1)$ 情况下，布拉斯ius-罗高夫斯基同余关系中的赫克多项式被显式计算，提供了具体的算术不变量。
• 通过证明在局部赫克代数与分解群的可交换作用下，伽罗瓦共轭循环的重数相等，建立了赫克作用与伽罗瓦作用之间的分布关系。
• 满足 $\int_\tau(\xi) = (0,0)$ 的循环类 $\xi$ 满足 $H_\tau(1)\cdot\xi = \sum_{(a,b)} \sum_x m_{a,b}(x) \xi_{a,b}^{\operatorname{Art}_{E_\tau}(x)}$，且重数 $m_{a,b}(x)$ 相等，从而证明了欧拉系性质。
• 所得循环组合位于迹映射 $\operatorname{Tr}_{2,0}$ 的像中，确认了欧拉系条件，并使该构造可应用于贝克-卡托-贝利林猜想。
• 该构造产生了一个新欧拉系，可用于研究塞尔默群，并证明单位群上自守伽罗瓦表示的贝克-卡托-贝利林猜想的新实例。