[论文解读] Hermitian tensor and quantum mixed state

Guyan Ni|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2019

Tensor decomposition and applications参考文献 33被引用 10

一句话总结

本文将厄米张量作为厄米矩阵的高阶扩展，并建立了其与量子混合态的联系。文章发展了张量运算，如酉相似性、部分迹和特征值分解，并将其应用于检测量子态的可分性。主要贡献是基于正厄米分解的纠缠判据，通过张量分解不匹配被证明能有效识别纠缠态。

ABSTRACT

An order $2m$ complex tensor $\cH$ is said to be Hermitian if \[\mathcal{H}_\ijm=\mathcal{H}_\jim ^*\mathrm{\ for\ all\ }\ijm .\] It can be regarded as an extension of Hermitian matrix to higher order. A Hermitian tensor is also seen as a representation of a quantum mixed state. Motivated by the separability discrimination of quantum states, we investigate properties of Hermitian tensors including: unitary similarity relation, partial traces, nonnegative Hermitian tensors, Hermitian eigenvalues, rank-one Hermitian decomposition and positive Hermitian decomposition, and their applications to quantum states.

研究动机与目标

• 建立厄米张量作为厄米矩阵在高阶系统中的数学框架。
• 通过密度矩阵表示，将厄米张量与量子混合态联系起来。
• 发展在量子信息理论中有用的张量运算，如部分迹和酉相似性。
• 利用张量分解特性，研究量子混合态中的可分性与纠缠检测。
• 提出基于正厄米分解不存在性的纠缠判据。

提出的方法

• 通过条件 $\mathcal{H}_{i_1\cdots i_m j_1\cdots j_m} = \mathcal{H}^*_{j_1\cdots j_m i_1\cdots i_m}$ 定义厄米张量，将厄米矩阵推广至高阶数组。
• 引入张量运算，包括酉相似性、部分迹和秩一厄米分解。
• 通过 $\mathcal{H} = \sum_i \lambda_i \chi^{(i)} \otimes \chi^{(i)*}$ 将量子混合态表示为厄米张量，建立张量结构与量子密度矩阵的联系。
• 提出正厄米分解的概念作为可分性判据：当且仅当张量可实现此类分解时，该态为可分态。
• 利用特征矩阵分解与子空间分析，检验正厄米分解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 厄米张量能否在高阶张量框架下用于表示和分析量子混合态？
• RQ2 厄米张量的基本性质是什么，如酉相似性、部分迹和特征值？
• RQ3 张量分解技术如何用于检测量子混合态中的可分性或纠缠？
• RQ4 在何种条件下，厄米张量可实现正厄米分解？
• RQ5 此类分解的不存在性能否作为确定的纠缠隐喻？

主要发现

• 当且仅当其对应的厄米张量可分解为秩一分量的正厄米分解时，量子混合态才是可分的。
• 对于满足 $\rho_1 > 0$、$\rho_2 > 0$ 且 $\rho_1 + \rho_2 = 1$ 的示例态 $\rho$，已证明其为纠缠态，因为不存在与张量元素匹配的正厄米分解。
• 该态 $\rho$ 的张量 $\mathcal{H}$ 在其特征矩阵分解与任何潜在的正厄米分解之间存在条目不匹配，证明其不可分解。
• 该方法通过比较不同分解方式下的部分迹条目成功识别出纠缠，当不存在正分解时显示出不一致性。
• 该框架通过张量分解提供了一套系统化的纠缠检测方法，超越了标准密度矩阵分析。
• 理论结果表明，若厄米张量具有正厄米分解，则所有相关乘积向量均位于由分解分量张成的特定子空间中。