[论文解读] On decompositions and approximations of conjugate partial-symmetric complex tensors

Taoran Fu, Bo Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2018

Tensor decomposition and applications参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文建立了共轭部分对称（CPS）张量到秩一CPS张量的构造性分解，证明了不同张量秩之间的非等价性（否定了Comon猜想的共轭版本），并基于矩阵展开开发了保持秩一等价性的凸优化模型，通过半定规划松弛实现可靠的最佳秩一逼近与极端特征值计算。

ABSTRACT

Conjugate partial-symmetric (CPS) tensors are the high-order generalization of Hermitian matrices. As the role played by Hermitian matrices in matrix theory and quadratic optimization, CPS tensors have shown growing interest recently in tensor theory and optimization, particularly in many application-driven complex polynomial optimization problems. In this paper, we study CPS tensors with a focus on ranks, rank-one decompositions and approximations, as well as their applications. The analysis is conducted along side with a more general class of complex tensors called partial-symmetric tensors. We prove constructively that any CPS tensor can be decomposed into a sum of rank-one CPS tensors, which provides an alternative definition of CPS tensors via linear combinations of rank-one CPS tensors. Three types of ranks for CPS tensors are defined and shown to be different in general. This leads to the invalidity of the conjugate version of Comon's conjecture. We then study rank-one approximations and matricizations of CPS tensors. By carefully unfolding CPS tensors to Hermitian matrices, rank-one equivalence can be preserved. This enables us to develop new convex optimization models and algorithms to compute best rank-one approximation of CPS tensors. Numerical experiments from various data are performed to justify the capability of our methods.

研究动机与目标

• 建立CPS张量到秩一CPS张量的构造性分解，通过线性组合提供一种替代定义。
• 定义并分析CPS张量的三种不同秩，证明其通常不等价，从而否定了Comon猜想的共轭版本。
• 基于矩阵展开开发保持CPS张量秩一等价性的凸优化模型。
• 利用半定规划（SDP）松弛计算CPS张量的最佳秩一逼近与极端特征值。
• 通过复多项式优化实例的数值实验验证所提方法，包括在秩一解恢复中采用扰动策略。

提出的方法

• 利用部分对称（PS）张量的Hermite与斜Hermite分解分析CPS张量结构。
• 应用加法数论工具，构造性证明任意CPS张量均可实现秩一分解。
• 将CPS张量展开为Hermite矩阵以保持秩一等价性，从而实现凸松弛。
• 对最佳秩一逼近问题采用半定规划（SDP）松弛，其中秩一解可证明全局最优性。
• 当SDP无法获得秩一解时，对张量引入小的随机扰动，以提高恢复有效秩一解的可能性。
• 通过 $ \boldsymbol{z} = e^{-\mathbf{i} \theta /3} \boldsymbol{x} $ 对特征向量进行相位旋转，确保在原始复形式非实数时获得实特征值。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个共轭部分对称张量是否都能分解为秩一共轭部分对称张量的和？
• RQ2 CPS张量的不同秩概念（如对称秩、张量秩）是否如实对称情形一样等价？
• RQ3 能否通过凸优化可靠计算CPS张量的最佳秩一逼近，且在何种条件下解为全局最优？
• RQ4 CPS张量最佳秩一逼近的SDP松弛模型是否能获得秩一解？若不能，扰动策略能否改善恢复效果？
• RQ5 所提方法能否验证计算得到的特征值为最大US-特征值，尤其在先前方法缺乏此类保证时？

主要发现

• 任意CPS张量均可分解为秩一CPS张量的和，提供基于线性组合的构造性替代定义。
• CPS张量的三种不同秩被证明通常不等价，从而否定了Comon猜想的共轭版本。
• CPS张量的矩阵展开保持了秩一等价性，使凸优化可用于最佳秩一逼近。
• SDP松弛模型成功计算了CPS张量的最佳秩一逼近与最大US-特征值，且秩一解可证明全局最优性。
• 在数值实验中，当原始问题失败时，对张量施加 $ \|\mathcal{E}\| = 10^{-4} $ 的扰动可显著提高获得秩一解的概率。
• 在例5.2中，该方法成功恢复最大US-特征值 $ 3.1623 $ 及其四个对应US-特征向量，确认并认证了先前工作的结果。