[论文解读] High-dimensional periodic sampling on Smolyak grids based on B-spline quasi-interpolation

Ðinh Dũng|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Mathematical Approximation and Integration参考文献 26被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种基于B样条准插值的高维周期函数线性采样恢复与积分公式，适用于具有Lipschitz-Hölder混合光滑度的函数。在Smolyak网格上，建立了关于维度$d$、细化水平$m$和活跃变量数$u$的显式误差界，表明稀疏Smolyak网格在使用远少于全网格的采样点情况下，仍能实现与全网格相同的收敛速率。

ABSTRACT

We constructed linear algorithms of sampling recovery and cubature formulas on Smolyak grids parametrized by $m \in \mathbb{N}$ of periodic $d$-variate functions having Lipschitz-Hölder mixed smoothness $α> 0$ based on B-spline quasi-interpolation, and studied their optimality. We established lower estimates (for $α\le 2$) and upper bounds of the error of the optimal sampling recovery and the optimal integration on Smolyak grids, explicit in $d$, $m$ and the number $ν$ of active variables of functions when $d$ and $m$ may be large.

研究动机与目标

• 在Smolyak网格上为具有混合光滑度$\alpha>0$的周期$d$元函数开发线性采样恢复与积分算法。
• 分析这些算法的最优性，其误差界显式依赖于$d$、$m$和$\nu$。
• 为$\alpha \leq 2$建立下界，并为Smolyak网格上最优采样恢复与积分的误差建立上界。
• 证明稀疏Smolyak网格在使用远少于全网格的采样点情况下，可实现与全网格相同的收敛速率。

提出的方法

• 在Smolyak网格$G^d(m)$上，利用B样条准插值算子构造线性采样恢复与积分公式。
• 采用单变量对称Laurent多项式$P_\Lambda$来定义具有显式逼近误差控制的准插值算子$Q$。
• 使用混合差分算子$\Delta_h^{r,u}$来定义空间$H^\alpha_\infty(\mathbb{T}^d)$中的Lipschitz-Hölder半范数。
• 通过分析$\|P_{ ext{even}}^*\|$、$\|P_{ ext{odd}}^*\|$和$\|L_\Lambda\|_{C(\mathbb{T})}$推导误差界，这些量控制了稳定性与逼近质量。
• 通过分段线性B样条（$r=1$）的Faber级数表示，并将其扩展至三次（$r=2$）和五次（$r=3$）B样条准插值。
• 采用层次分解与稀疏网格构造，满足$|k|_1 = m$，在保持最优收敛速率的同时确保稀疏性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Smolyak网格上，B样条准插值能否对具有混合光滑度$\alpha>0$的高维周期函数实现最优收敛速率？
• RQ2 采样恢复与积分在Smolyak网格上的显式误差界如何依赖于$d$、$m$和$\nu$？
• RQ3 在高维情形下，B样条准插值的逼近性质与标准全网格相比如何？
• RQ4 Laurent多项式$P_\Lambda$在控制准插值算子的稳定性和精度方面起什么作用？
• RQ5 当$\alpha \leq 2$时，误差界是否为紧界？它们与下界相比如何？

主要发现

• Smolyak网格上最优采样恢复的误差被界于$C \cdot 2^{-m\alpha}$以内，其中$C$显式依赖于$d$、$\nu$和$\alpha$，且当$\alpha \leq 2$时该界为最优。
• 对于分段线性B样条准插值（$r=1$），有$\|P_{ ext{even}}^*\| = 1/2$，$\|P_{ ext{odd}}^*\| = 0$，且$\|L_\Lambda\| = 1$，确保了稳定性与最优收敛。
• 对于三次B样条准插值（$r=2$），有$\|P_{ ext{even}}^*\| = 3/8$，$\|P_{ ext{odd}}^*\| = 1/2$，且$\|L_\Lambda\| = 11/9$，实现了高精度逼近。
• 对于五次B样条准插值（$r=3$），有$\|P_{ ext{even}}^*\| \approx 0.97$，$\|P_{ ext{odd}}^*\| \approx 1.00$，且$\|P_\Lambda\| \approx 2.63$，显示出接近最优的稳定性与高阶精度。
• 在$G^d(m)$中的网格点数量小于$\frac{1}{(d-1)!}2^m m^{d-1}$，远小于$2^{dm}$，证实了Smolyak网格的稀疏性。
• 所提出的算法实现了与全网格相同的收敛速率，证明稀疏网格对具有混合光滑度的高维周期函数是最优的。