[论文解读] Higher l^2-Betti numbers of universal quantum groups

Julien Bichon, David Kyed+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文计算了所有 $\beta^{(2)}_p(\hat{U}_n^+)$ 和 $\beta^{(2)}_p(\hat{U}_n^*)$（$n \geq 2$），证明了通用与半简化酉量子群在度数 1 时的 $\ell^2$-Betti 数均为 1，其余所有度数均为 0。该计算依赖于一个关于 $\ell^2$-Betti 数的新自由积公式以及在余中心扩张下的缩放公式，结合了 [KR16]、[BNY15] 和 [BNY16] 的结果。

ABSTRACT

We calculate all $\ell^2$-Betti numbers of the universal discrete Kac quantum groups $\hat U_n^+$ as well as their full half-liberated counterparts $\hat U_n^*$.

研究动机与目标

• 计算自由酉量子群 $\hat{U}_n^+$ 及其半简化对应物 $\hat{U}_n^*$ 的对偶的全部 $\ell^2$-Betti 数。
• 解决关于 $\hat{U}_n^+$ 的第二和第三 $\ell^2$-Betti 数的开放问题，此前尽管已知 $\hat{O}_n^+$ 的结果，但该问题仍未解决。
• 建立离散量子群的 $\ell^2$-Betti 数的新自由积公式。
• 证明 $\hat{U}_n^+$ 和 $\hat{U}_n^*$ 不满足 Poincaré 对偶性，与 $\hat{O}_n^+$ 的行为形成对比。
• 将 $\ell^2$-Betti 数在余中心扩张下的缩放行为推广至量子群设置，推广经典有限指标缩放。

提出的方法

• 推导出离散量子群的 $\ell^2$-Betti 数的新自由积公式，证明当 $p \geq 2$ 时有 $\beta_p^{(2)}(\hat{G} * \hat{H}) = \beta_p^{(2)}(\hat{G}) + \beta_p^{(2)}(\hat{H})$，并对 $p=1$ 和 $p=0$ 给出修正公式。
• 应用在 Kac 类型紧致量子群的余中心扩张下 $\ell^2$-Betti 数的缩放公式，证明当 $\mathbb{C} \to \mathrm{Pol}(\mathbb{H}) \to \mathrm{Pol}(\mathbb{G}) \to \mathbb{C}\Gamma \to \mathbb{C}$ 是正合序列且 $\Gamma$ 为有限交换群时，有 $\beta_p^{(2)}(\hat{H}) = |\Gamma| \cdot \beta_p^{(2)}(\hat{G})$。
• 利用连接 $\mathrm{U}_n^+$ 与 $\mathrm{O}_n^+ * \mathrm{O}_n^+$ 的正合序列，通过一个共同的紧致量子群 $\mathbb{H}$，将 $\ell^2$-Betti 数的计算归约为 $\hat{O}_n^+$ 上已知的结果。
• 将相同框架应用于 $\mathrm{U}_n^*$ 与 $\mathrm{O}_n^* * \mathrm{O}_n^*$，使用相同的 $\mathbb{H}^*$，以计算半简化情形下的 $\ell^2$-Betti 数。
• 依赖于 $\beta_p^{(2)}(\hat{O}_n^+) = 0$ 对所有 $p \geq 0$ 成立的事实，如 [Ver12] 和 [CHT09] 所建立，并通过共收缩性与对偶性将此结果推广至 $\hat{O}_n^*$。
• 结合自由积公式与缩放公式，推导出 $\hat{U}_n^+$ 与 $\hat{U}_n^*$ 的完整 $\ell^2$-Betti 数序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 对所有 $p \geq 0$ 和 $n \geq 2$，$\ell^2$-Betti 数 $\beta_p^{(2)}(\hat{U}_n^+)$ 的值是什么？
• RQ2 离散量子群 $\hat{U}_n^+$ 是否满足 Poincaré 对偶性，如同 $\hat{O}_n^+$ 一样？
• RQ3 半简化酉量子群 $\hat{U}_n^*$ 的 $\ell^2$-Betti 数结构如何？
• RQ4 是否可以在离散量子群的背景下建立 $\ell^2$-Betti 数的自由积公式？
• RQ5 在 Kac 类型紧致量子群的余中心扩张下，$\ell^2$-Betti 数如何缩放？

主要发现

• 对于所有 $n \geq 2$，$\hat{U}_n^+$ 的 $\ell^2$-Betti 数为 $\beta_1^{(2)}(\hat{U}_n^+) = 1$，且对所有 $p \neq 1$ 有 $\beta_p^{(2)}(\hat{U}_n^+) = 0$。
• 对于所有 $n \geq 2$，$\hat{U}_n^*$ 的 $\ell^2$-Betti 数为 $\beta_1^{(2)}(\hat{U}_n^*) = 1$，且对所有 $p \neq 1$ 有 $\beta_p^{(2)}(\hat{U}_n^*) = 0$。
• 离散量子群 $\hat{U}_n^+$ 不满足 Poincaré 对偶性，因为其 $\ell^2$-Betti 数在映射 $p \mapsto 3-p$ 下不对称。
• 建立了离散量子群的 $\ell^2$-Betti 数的新自由积公式，给出了 $p=0,1$ 以及 $p \geq 2$ 的显式表达式。
• 证明了在余中心扩张下的 $\ell^2$-Betti 数缩放公式，表明当 $\Gamma$ 为有限交换群且扩张为余中心时，有 $\beta_p^{(2)}(\hat{H}) = |\Gamma| \cdot \beta_p^{(2)}(\hat{G})$。
• 结果确认了 $\beta_p^{(2)}(\hat{O}_n^*) = 0$ 对所有 $p \geq 0$ 成立，通过共收缩性与对偶性将 $\ell^2$-Betti 数的消失性从 $\hat{O}_n^+$ 推广至 $\hat{O}_n^*$。