[论文解读] Higher-Order Numerical Solutions of the Fractional Relaxation-Oscillation Equation using Fractional Integration

Yuri Dimitrov|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于求解分数阶松弛-振荡方程的高阶数值格式，方法基于对分数阶积分阶数为 $\alpha$、$1+\alpha$、$2+\alpha$、$3+\alpha$ 和 $4+\alpha$ 的梯形法则的渐近展开。通过利用欧拉-麦克拉林展开式与黎曼 zeta 函数恒等式，该方法实现了类似谱方法的收敛速率，实测精度阶数最高达 4.5，显著优于标准方法。

ABSTRACT

In the present paper we derive the asymptotic expansion formula for the trapezoidal approximation of the fractional integral. We use the expansion formula to obtain approximations for the fractional integral of order $α,1+α,2+α,3+α$ and $4+α$. The approximations are applied for computing the numerical solutions of the fractional relaxation-oscillation equation.

研究动机与目标

• 通过改进分数阶积分近似方法的精度，发展分数阶微分方程的高阶数值方法。
• 解决标准分数阶积分格式在求解松弛-振荡方程时收敛率低下的挑战。
• 推导梯形法则应用于任意阶分数阶积分时的渐近误差展开式。
• 基于推导出的系数公式，构建稳定且高阶的分数阶松弛-振荡方程时间推进格式。

提出的方法

• 利用欧拉-麦克拉林公式与伯努利数，推导梯形法则在分数阶积分上的渐近展开式。
• 将阶数为 $\alpha$ 的分数阶积分表示为函数值与由 zeta 和 gamma 函数导出的系数构成的加权和。
• 利用黎曼 zeta 函数与 digamma 函数的函数方程，计算更高阶近似的系数。
• 将推导出的近似方法应用于分数阶松弛-振荡方程，得到具有 $O(h^{4+\alpha})$ 局部截断误差的线性多步格式。
• 利用负整数处的 zeta 函数值，推导 $I^{\alpha}$、$I^{1+\alpha}$、$I^{2+\alpha}$、$I^{3+\alpha}$ 和 $I^{4+\alpha}$ 的系数公式。
• 构建一种数值格式，其中 $u_n$ 通过包含历史值和权重为 $1/k^{1-\alpha}$ 的卷积和的递推关系进行更新。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过渐近展开系统性地将分数阶积分的梯形法则扩展至更高阶精度？
• RQ2 分数阶积分阶数为 $\alpha$、$1+\alpha$、$2+\alpha$、$3+\alpha$ 和 $4+\alpha$ 时，梯形近似中校正项的解析表达式是什么？
• RQ3 在求积公式中引入更高阶导数，对分数阶微分方程数值格式的收敛率有何影响？
• RQ4 使用这些改进的分数阶积分近似方法，分数阶松弛-振荡方程的数值解能达到多高的精度阶数？
• RQ5 该方法在不同分数阶 $\alpha \in (0,2)$ 下是否能保持稳定性和高收敛速率？

主要发现

• 如表 8 所示，对于 $\alpha = 0.65$ 的分数阶松弛-振荡方程，所提方法实现了约 4.5 阶的收敛精度。
• 对于 $\alpha = 1.65$，该格式实现了 4.6233 阶的收敛精度，表明即使在高阶分数阶导数下也具有极高精度。
• 在方程 3[9] 中，当 $\alpha = 0.6$ 时，最大误差在 $h$ 四次减半后由 $1.9 \times 10^{-11}$ 降至 $1.4 \times 10^{-15}$，证实了 $O(h^{4.5})$ 的收敛趋势。
• 四阶加 $\alpha$ 阶格式的系数公式涉及负整数处的 zeta 函数，其中 $c_0 = \frac{11}{6}\zeta(-\alpha) - \zeta(-1-\alpha) + \frac{1}{6}\zeta(-2-\alpha) - \zeta(1-\alpha)$，确保了高阶精度。
• 对于四阶加 $\alpha$ 情况，数值格式保持稳定，在 $h = 0.003125$ 且 $\alpha = 0.4$ 时最大误差为 $1.9 \times 10^{-13}$，收敛阶数为 4.3873。
• 该方法优于低阶格式，对于 $\alpha < 1$ 的情况，实测收敛阶数始终高于 3.3；对于 $\alpha > 1$ 的情况，收敛阶数始终高于 4.1，表明其在不同分数阶下均具有鲁棒性。