[论文解读] Higher rho numbers and the mapping of analytic surgery to homology

Paolo Piazza, Thomas Schick+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 44被引用 6

一句话总结

本文构建了两个涉及伽罗瓦 $\Gamma$-覆叠 $\widetilde{M}$ 的解析结构群 $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 的配对，将其与非交换德拉姆同调序列联系起来，从而定义了可逆 $\Gamma$-等变狄拉克算子的高阶 $\rho$ 数。

ABSTRACT

Let $\Gamma$ be a finitely generated discrete group and let $\widetilde{M}$ be a Galois $\Gamma$-covering of a smooth compact manifold $M$. Let $u:X o B\Gamma$ be the associated classifying map. Finally, let $\mathrm{S}_*^\Gamma (\widetilde{M})$ be the analytic structure group, a K-theory group appearing in the Higson-Roe exact sequence $\cdots o \mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M}) o K_*(M) o K_*(C^*\Gamma) o\cdots$. Under suitable assumptions on $\Gamma$ we construct two pairings, first between $\mathrm{S}^\Gamma_*(\widetilde{M})$ and the delocalized part of the cyclic cohomology of $\mathbb{C}\Gamma$, and secondly between $\mathrm{S}^\Gamma_*(\widetilde M)$ and the relative cohomology $H^*(M o B\Gamma)$. Both are compatible with known pairings associated with the other terms in the Higson-Roe sequence. In particular, we define higher rho numbers associated to the rho class $ ho(\widetilde{D})\in \mathrm{S}_*^\Gamma (\widetilde{M})$ of an invertible $\Gamma$-equivariant Dirac type operator on $\widetilde{M}$. Regarding the first pairing we establish in fact a more general result, valid without additional assumptions on $\Gamma$: indeed, we prove that it is possible to map the Higson-Roe analytic surgery sequence to the long exact sequence in noncommutative de Rham homology $ \cdots\xrightarrow{j_*} H_{*-1} (\mathcal{A}\Gamma)\xrightarrow{\iota} H^{del}_{*-1} (\mathcal{A}\Gamma)\xrightarrow{\delta}H^{e}_{*} (\mathcal{A}\Gamma)\xrightarrow{j_*}\cdots$ with $\mathcal{A}\Gamma$ a dense homomorphically closed subalgebra of $C^*_r \Gamma$ and $ H_{*}^{del} (\mathcal{A}\Gamma)$ and $ H_{*}^{e} (\mathcal{A}\Gamma)$ denoting versions of the delocalized homology and the homology localized at the identity element, respectively.

研究动机与目标

• 通过分析手术不变量，为 $\Gamma$-等变狄拉克算子定义高阶 $\rho$ 不变量。
• 在分析结构群 $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 与 $\mathbb{C}\Gamma$ 的非局部化循环上同调之间建立配对，且与希森-罗序列相容。
• 将此配对扩展为从希森-罗分析手术序列到非交换德拉姆同调序列的映射，适用于任意有限生成离散群 $\Gamma$。
• 定义并研究与 $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 中的 $\rho$ 类 $\rho(\widetilde{D})$ 相关的高阶 $\rho$ 数。

提出的方法

• 利用希森-罗正合序列作为框架，构建 $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 与 $\mathbb{C}\Gamma$ 的非局部化循环上同调之间的配对。
• 定义 $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 与相对上同调 $H^*(M \to B\Gamma)$ 之间的第二个配对，确保与已知正合序列结构相容。
• 建立从希森-罗分析手术序列到非交换德拉姆同调长正合序列的一般映射，适用于 $C^*_r\Gamma$ 的一个余稠密 $*$-子代数 $\mathcal{A}\Gamma \subset C^*_r\Gamma$，且无需对 $\Gamma$ 施加额外假设。
• 利用 $\mathcal{A}\Gamma$ 的代数结构，定义 $H^{\text{del}}_*(\mathcal{A}\Gamma)$ 和 $H^e_*(\mathcal{A}\Gamma)$，分别表示非局部化与恒等局部化同调。
• 确保两个配对均与希森-罗序列中的映射相容，保持正合性与函子性。
• 将高阶 $\rho$ 数定义为 $\rho(\widetilde{D})$ 在这些配对下的像，从而将经典 $\rho$ 不变量推广至分析手术设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过分析结构群 $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 定义 $\Gamma$-等变狄拉克算子的高阶 $\rho$ 不变量？
• RQ2 分析手术序列与非交换德拉姆同调之间存在何种关系？能否为任意 $\Gamma$ 构造一个函子性映射？
• RQ3 能否在 $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 与 $\mathbb{C}\Gamma$ 的非局部化循环上同调之间构造一个与希森-罗正合序列相容的配对？
• RQ4 在手术不变量的背景下，相对上同调 $H^*(M \to B\Gamma)$ 与分析结构群如何相互作用？
• RQ5 余稠密 $*$-子代数 $\mathcal{A}\Gamma \subset C^*_r\Gamma$ 在实现分析手术与非交换德拉姆同调之间联系的过程中起什么作用？

主要发现

• 本文构建了分析结构群 $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 与 $\mathbb{C}\Gamma$ 的非局部化循环上同调之间的典范配对，且与希森-罗正合序列相容。
• 建立了从希森-罗分析手术序列到非交换德拉姆同调序列的一般映射，适用于任意有限生成离散群 $\Gamma$，且无需额外假设。
• 该映射通过余稠密 $*$-子代数 $\mathcal{A}\Gamma \subset C^*_r\Gamma$ 实现，该代数支持 $H^{\text{del}}_*(\mathcal{A}\Gamma)$ 与 $H^e_*(\mathcal{A}\Gamma)$ 的定义，从而实现同调比较。
• 在 $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 与相对上同调 $H^*(M \to B\Gamma)$ 之间定义了第二个配对，保持了希森-罗序列的正合性。
• 高阶 $\rho$ 数被定义为 $\rho(\widetilde{D})$ 在这些配对下的像，将经典 $\rho$ 不变量推广至分析手术设定。
• 结果表明，$\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ 中的分析手术不变量可通过非交换同调与上同调理论检测，为指标理论与 $K$-理论不变量提供了新工具。