[论文解读] Higher SPT's and a generalization of anomaly in-flow

Ryan Thorngren, Curt von Keyserlingk|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2015

Topological Materials and Phenomena参考文献 6被引用 10

一句话总结

本文通过证明当全局对称性 $G$ 扩展为包含1-形式对称和0-形式对称的更高对称性——具体而言即2-群对称性时，可通过异常流入机制消除2+1维Dijkgraaf-Witten理论中严重的't Hooft异常。关键结果表明，当通过受 $d$-群对称保护的更高拓扑序序数态（SPT phase）进行规范调节时，所有此类异常均满足异常流入条件，其中涌现的1-形式规范场源于 $H^3$ 异常类，该类信号了规范化后任意子缺陷的凝聚。

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) phases of bosons in $d$ spatial dimensions have been characterized by the action of the protecting global symmetry $G$ on their boundary. The symmetry acts on the boundary in a way that would be impossible to realize in a purely $d-1$ dimensional system i.e., without the bulk. This is often formalized by saying the $G$ symmetry is anomalous when the boundary theory is gauged. Simultaneously gauging the symmetry on the boundary and in the bulk yields a gauge-invariant composite system. One says there is an anomaly in-flow from the boundary to the bulk. Recently it has been appreciated that some anomalies are too severe to be regulated by an SPT bulk. These do not satisfy anomaly in-flow in the traditional sense. However, we show that these anomalous systems can be regulated as the symmetric boundaries of the newly discovered higher SPT phases. These higher SPT's are protected by a symmetry $d$-group, a higher categorical version of a group which can charge not just particles but also strings, volumes, etc. This structure emerges naturally from computation of the anomaly. One can interpret these severe anomalies as producing an emergent higher-form gauge field when $G$ is gauged, and this gauge field participates in the bulk topological action.

研究动机与目标

• 解决传统意义上所有有限全局对称性 $G$ 的't Hooft异常是否均满足异常流入的问题。
• 证明那些严重到无法通过标准3+1维 $G$-规范理论消除的异常，可改由具有 $d$-群对称性的更高SPT相来调节。
• 建立场论中的 $H^3$ 障碍与模张量范畴的 $G$-交叉辫状扩张中 $H^3$ 障碍之间的联系。
• 证明在规范化 $G$ 后涌现的1-形式规范对称性是异常的根源，其中 $H^3$ 模形式决定了相关任意子缺陷的电荷。
• 证明任意 $G$-对称的Dijkgraaf-Witten理论均可实现为具有极局域 $d$-群对称性的更高SPT相的边界。

提出的方法

• 使用Serre谱序列按严重程度筛选异常，并确定所需对称性扩展的层级。
• 应用 $G_{\text{gauge}} = \bbZ/3$ 和类似陈-Simons作用 $S_{3d} = \frac{1}{3} \int \tilde{a} \cup \frac{\delta \tilde{a}}{3}$ 的Dijkgraaf-Witten理论形式化来建模体相理论。
• 引入规范场 $a$ 的整数提升 $\tilde{a}$，以定义Bockstein同态 $Bock(a) = \frac{\delta \tilde{a}}{3}$，该映射模3有定义，闭合但未必恰当。
• 计算Bockstein的一阶后继 $Bock_1(a;f)$，以分析规范变换并验证作用量在 $G_{\text{gauge}}$ 下的不变性。
• 表明在 $G_{\text{global}}$ 规范化下，异常的变分可通过包含1-形式和2-形式场的4+1维拓扑作用量的边界变分来抵消。
• 将场论中的 $H^3$ 异常类与规范化后阿贝尔任意子凝聚相关联，其中任意子电荷由背景1-形式规范场决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有有限全局对称性 $G$ 的't Hooft异常是否都能通过标准3+1维 $G$-规范理论中的异常流入机制来消除？
• RQ2 为消除阻碍标准异常流入的严重异常，全局对称性 $G$ 的最小扩展是什么？
• RQ3 由异常产生的 $H^3$ 上同调类如何与涌现的1-形式对称性和任意子凝聚相关联？
• RQ4 每个 $G$-对称的Dijkgraaf-Witten理论是否都能实现为具有极局域 $d$-群对称性的更高SPT相的边界？
• RQ5 Bockstein同态及其后继在表征异常和规范不变性方面起什么作用？

主要发现

• 在Dijkgraaf-Witten理论中，所有't Hooft异常在将 $G$ 扩展为与拓扑量子场论中阿贝尔任意子群同构的 $\Pi_2$ 的2-群对称性后，均满足异常流入。
• $H^3$ 异常类表明在规范化 $G$ 后涌现了1-形式规范对称性，其中模形式决定了由 $G$ 壁面凝聚形成的关联子气泡的电荷。
• 在 $G_{\text{global}}$ 规范化下，异常的变分可通过包含1-形式和2-形式场的4+1维拓扑作用量的边界变分来抵消。
• 场论中的 $H^3$ 障碍与模张量范畴的 $G$-交叉辫状扩张中的 $H^3$ 障碍完全对应，建立了深刻的数学-物理联系。
• 任意 $G$-对称的Dijkgraaf-Witten理论均可实现为具有极局域 $d$-群对称性的更高SPT相的边界，推广了标准SPT边界条件。
• 涌现的1-形式规范场参与体相拓扑作用量，而任意子凝聚（通过任意子凝聚）仅在存在2-SPT体相时才一致，而非在2+1维本身。