[论文解读] Hirzebruch classes and motivic Chern classes for singular (complex) algebraic varieties

Jean‐Paul Brasselet, Joerg Schuermann+1 more|ArXiv.org|May 21, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用 7

一句话总结

本文通过动机类 Chern 类与 Hirzebruch 类，提出了一套针对奇异复代数簇的特征类统一理论。它构造了一个自然变换 $ T_y: K_0(\text{var}/X) \to H_*(X) \otimes \mathbb{Q}[y] $，该变换在 $ y = -1 $ 时推广了陈类，在 $ y = 0 $ 时推广了 Todd 类，利用混合 Hodge 模和代数 cobordism 将构造提升至一个普遍设定。

ABSTRACT

In this paper we study some new theories of characteristic homology classes for singular complex algebraic varieties. First we introduce a natural transformation T_{y}: K_{0}(var/X) -> H_{*}(X,Q)[y] commuting with proper pushdown, which generalizes the corresponding Hirzebruch characteristic. Here K_{0}(var/X) is the relative Grothendieck group of complex algebraic varieties over X as introduced and studied by Looijenga and Bittner in relation to motivic integration. T_{y} is a homology class version of the motivic measure corresponding to a suitable specialization of the well known Hodge polynomial. This transformation unifies the Chern class transformation of MacPherson and Schwartz (for y=-1) and the Todd class transformation in the singular Riemann-Roch theorem of Baum-Fulton-MacPherson (for y=0). In fact, T_{y} is the composition of a generalized version of this Todd class transformation due to Yokura, and a new motivic Chern class transformation mC_{*}: K_{0}(var/X)-> G_{0}(X)[y], which generalizes the total lambda-class of the cotangent bundle to singular spaces. Here G_{0}(X) is the Grothendieck group of coherent sheaves, and the construction of mC_{*} is based on some results from the theory of algebraic mixed Hodge modules due to M.Saito. In the final part of the paper we use the algebraic cobordism theory of Levine and Morel to lift mC_{*} further up to a natural transformation mC'_{*} from K_{0}(var/X) to a suitable universal Borel-Moore weak homology theory. Moreover, all our results can be extended to varieties over a base field k, which can be embedded into the complex numbers.

研究动机与目标

• 将奇异 Riemann-Roch 定理中的陈-施瓦茨-麦科菲森类与 Todd 类变换统一为一个以 $ y $ 为参数的特征类族。
• 将动机类 Chern 类变换 $ mC_* $ 从相干层的 Grothendieck 群扩展至代数 cobordism，实现普遍形式化。
• 利用代数混合 Hodge 模理论，为奇异簇提供特征类的动机构造。
• 通过构造一个自然变换 $ T_y $，回答 MacPherson 关于奇异簇特征类统一理论的开放问题，该变换插值已知的不变量。

提出的方法

• 通过 Hodge 模类映射 $ mH $ 与分次 de Rham 映射 $ gr^F_{-*}DR $ 的复合，定义动机类 Chern 类变换 $ mC_*: K_0(\text{var}/X) \to G_0(X) \otimes \mathbb{Z}[y] $。
• 将 Hirzebruch 类变换 $ T_y $ 构造为 $ mC_* $ 与广义 Todd 类变换 $ td_{(1+y)} $ 的复合，确保其与适当前推的相容性。
• 利用代数 cobordism $ \Omega_* $ 的普遍性质及光滑簇的同构 $ \omega_* $，将 $ mC_* $ 提升为 $ mC'_*: K_0(\text{var}/X) \to \Omega_*(X) \otimes_{\mathbb{L}_*} \mathbb{Z}[y,y^{-1}] $。
• 建立光滑 $ X $（维数为 $ d $）的归一化条件，其中 $ mC'_*([\text{id}_X]) = \tilde{\lambda}_y(T^*X) \cdot [X] $，此处 $ \tilde{\lambda}_y $ 为定向 Borel-Moore 同调理论中的总 $ \lambda $-类。
• 利用 $ \gamma $-滤子与 $ G_0(X) \otimes \mathbb{Z}[y,y^{-1}] $ 中的高阶陈类，将 $ \tilde{\lambda}_y(T^*X) $ 表示为 $ \tilde{c}_j(TX) $ 的组合，表明其对陈类的非平凡加权，包括二项式系数与 $ y $ 的幂次。
• 证明 $ mC'_* $ 与射影前推可交换，并对光滑态射满足 Verdier Riemann-Roch 公式，确保其与几何运算的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个单一的特征类变换，能够统一奇异 Riemann-Roch 定理中陈-施瓦茨-麦科菲森类与 Todd 类变换？
• RQ2 如何将动机类 Chern 类从相干层扩展至普遍的代数 cobordism 理论 $ \Omega_* $？
• RQ3 动机类 Chern 类在奇异簇上的正确归一化条件是什么？其与余切丛 $ \lambda $-类的关系如何？
• RQ4 在动机类 Chern 类及其向 cobordism 提升的背景下，高阶陈类与 $ \gamma $-滤子如何相互作用？
• RQ5 该构造能否推广至任意基域 $ k \subset \mathbb{C} $ 上的簇，同时保持与前推和归一化条件的相容性？

主要发现

• 变换 $ T_y $ 由其与适当前推的相容性以及光滑 $ X $ 上的归一化条件 $ T_y([\text{id}_X]) = \widetilde{td}_{(y)}(TX) \cap [X] $ 唯一确定，统一了陈类（$ y = -1 $）与 Todd 类（$ y = 0 $）变换。
• 动机类 Chern 类变换 $ mC_* $ 定义为复合 $ gr^F_{-*}DR \circ mH $，其中 $ mH $ 将簇 $ f: Y \to X $ 映射为移位常值 Hodge 模 $ f_! \mathbb{Q}_Y^H $ 在 $ K_0(MHM(X/k)) $ 中的类。
• 向 cobordism 提升的 $ mC'_* $ 满足 $ mC'_*([\text{id}_X]) = \tilde{\lambda}_y(T^*X) \cdot [X] $，其中 $ \tilde{\lambda}_y $ 表示为 $ \tilde{c}_j(TX) $ 的和，其权重为二项式系数与 $ y $ 的幂次，表明其对陈类的非平凡依赖关系。
• 对 $ mC_* $ 的归一化条件并非简单地为 $ \sum \tilde{c}_j(TX) \cdot [X] $，而是包含一个校正因子 $ \sum_{i=j}^d (-1)^j \binom{d-j}{d-i} y^{i+j-d} $，反映了 $ \gamma $-滤子的乘法形式群律。
• 变换 $ mC'_* $ 与外积可交换，并对光滑态射满足 Verdier Riemann-Roch 公式：$ \tilde{\lambda}_y(T^*_f) \cdot f^*mC'_* = mC'_*f^* $，确保其与拉回运算的相容性。
• 该构造可推广至任意满足 $ k \subset \mathbb{C} $ 的基域上的簇，所有结果在基变换下保持不变，展示了其在动机设定下的稳健性与普遍性。