[论文解读] The calculus structure of the Hochschild homology/cohomology of preprojective algebras of Dynkin quivers

Ching-Hwa Eu|ArXiv.org|Jun 16, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文计算了在特征为零的域上，Dynkin型quiver的预投影代数的Hochschild同调与上同调上的完整微分几何结构——包括Gerstenhaber括号、Connes微分与李导数。通过Batalin-Vilkovisky结构，利用Cartan恒等式推导出该微分几何时结构，完整描述了Hochschild上同调环作为Batalin-Vilkovisky代数的性质，并完全确定了导子在同调与上同调基底上的作用。

ABSTRACT

The Hochschild homology/cohomology an associative algebra, together with the Connes differential, the contraction map and the Lie derivative, forms the structure of calculus. In this paper we compute explicitely the calculus structure of preprojective algebras of Dynkin quivers over a field of characteristic zero. This also completes the work in math.AG/0502301, where the Batalin-Vilkovisky structure of the Hochschild cohomology of preprojective algebras of non-Dynkin quivers are computed and the calculus can be easily computed from that.

研究动机与目标

• 完整确定Dynkin型quiver的预投影代数的Hochschild同调与上同调上的微分几何时结构。
• 通过扩展先前关于Batalin-Vilkovisky代数的研究结果，完成对所有quiver的微分几何时结构的完整描述。
• 通过Cartan恒等式计算Hochschild同调上的Connes微分，从而推导出Gerstenhaber括号与收缩映射。
• 利用Batalin-Vilkovisky算子与对偶性，显式计算导子在上同调与同调基底上的李导数作用。
• 基于已知的Hilbert序列与对偶性定理，提供微分几何时结构的完整、基依赖的描述。

提出的方法

• 利用Hochschild上同调上的Batalin-Vilkovisky（BV）结构，通过Cartan恒等式推导出Gerstenhaber括号与收缩映射。
• 应用Cartan恒等式计算Hochschild同调上的Connes微分，该微分诱导出BV算子。
• 利用[EE2]、[ES2]与[Eu2]中已知的Hochschild同调与上同调空间之间的同构关系，定义基底。
• 使用公式 $ \mathcal{L}_X = [d, \iota_X] $ 计算李导数，其中 $ d $ 为Connes微分，$ \iota_X $ 为收缩算子。
• 利用预投影代数的分次与对偶性结构，计算对生成元 $ \theta_{l,t}, \omega_{l,t}, \psi_{l,t}, \varepsilon_{l,t}, \zeta_{l,t}, h_{l,t}, f_{l,t} $ 的作用。
• 应用BV算子 $ B $ 作用于同调与上同调生成元，给出其作用与 $ \iota_{\theta_0} $ 的原像的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 预投影代数的Dynkin型quiver的Hochschild上同调上的Batalin-Vilkovisky结构如何确定完整的微分几何时结构？
• RQ2 Connes微分在Hochschild同调上的显式作用是什么，其表达式如何基于已知基元素表示？
• RQ3 对于 $ X $ 属于Hochschild上同调的情形，李导数 $ \mathcal{L}_X $ 如何作用于上同调与同调基底？
• RQ4 在此设定下，BV算子、Gerstenhaber括号与收缩映射之间的精确关系为何？
• RQ5 预投影代数的分次与对偶性结构如何影响微分几何时运算？

主要发现

• 通过Cartan恒等式计算了Hochschild同调上的Connes微分，从而在上同调环上诱导出BV结构。
• 李导数 $ \mathcal{L}_{\psi_{k}^{(s)}} $ 仅在 $ k = h-3 $ 时非平凡作用，其显式公式涉及 $ \alpha(f_{\frac{h-3}{2},t-s-1}) $ 与 $ (t-s)hf_{\frac{h-3}{2},t-s-1} $。
• 算子 $ \mathcal{L}_{z_k^{(s)}} $ 对 $ \theta_{l,t} $ 与 $ \psi_{l,t} $ 的作用与 $ \left(\frac{k}{2} - sh\right) $ 成正比，且其原像在 $ \iota_{\theta_0} $ 下有定义，而其对 $ z_{l,t}, \varepsilon_{l,t}, \zeta_{l,t}, f_{l,t} $ 的作用为零。
• 对于 $ \mathcal{L}_{\omega_k^{(s)}} $，仅在 $ \varepsilon_{l,t} $ 与 $ z_{l,t} $ 上有非零作用，结果分别为 $ \delta_{kl}((t-s+1)h - 1)\zeta_{0,t-s} $ 与 $ \delta_{l0}(\frac{1}{2} + t - s)h\beta^{-1}(\omega_{k,t-s}) $。
• 李导数 $ \mathcal{L}_{\omega_k^{(s)}} $ 对 $ \theta_{l,t} $ 的作用为 $ \delta_{l0}(1 + th)\omega_{k,t-s} $，表明其与 $ \theta $-基底存在非平凡相互作用。
• 所有李导数作用均被完全确定，并以基元素显式表示，其依赖关系明确体现于Coxeter数 $ h $、分次 $ t $ 与平移量 $ s $。