[论文解读] Hodge theory and deformations of SKT manifolds

Gil R. Cavalcanti|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 36被引用 17

一句话总结

本文通过广义复几何建立了 SKT（强凯勒流形）的霍奇理论，引入了形式的 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$-分次结构，并证明了拉普拉斯算子之间的恒等式，该恒等式迫使弗罗利希谱序列在第一页退化。该框架表明，SKT 几何中的上同调失败（如谱序列非退化或 $dd^c$-引理不成立）具有源于挠率的深刻几何解释，而关键的凯勒类性质则通过 $d^H$-上同调与广义结构得以恢复。

ABSTRACT

We use tools from generalized complex geometry to develop the theory of SKT (a.k.a. pluriclosed Hermitian) manifolds and more generally manifolds with special holonomy with respect to a metric connection with closed skew-symmetric torsion. We develop Hodge theory on such manifolds showing how the reduction of the holonomy group causes a decomposition of the twisted cohomology. For SKT manifolds this decomposition is accompanied by an identity between different Laplacian operators and forces the collapse of a spectral sequence at the first page. Further we study the deformation theory of SKT structures, identifying the space where the obstructions live. We illustrate our theory with examples based on Calabi--Eckmann manifolds, instantons, Hopf surfaces and Lie groups.

研究动机与目标

• 为缺乏标准凯勒性质（如 $dd^c$-引理和谱序列退化）的 SKT 流形发展一致的霍奇理论。
• 识别 SKT 结构中上同调障碍（如弗罗利希谱序列非退化）的几何根源。
• 通过表明 SKT 结构位于广义埃尔米特结构与广义凯勒结构之间的一半位置，将 SKT 几何与广义复几何统一起来。
• 通过识别障碍空间，为 SKT 结构提供变形理论。
• 证明由挠率引起的上同调异常并非缺陷，而是 $d^H$-上同调与 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$-分次结构所反映的深层几何结构的体现。

提出的方法

• 引入 $H$-柯朗括号与扭联络微分 $d^H = d + H \wedge$，其中 $H = d^c\omega$，将 $d^H$-上同调定义为 SKT 流形的自然上同调。
• 利用广义殆厄米结构的固有挠率定义算子 $\delta_\pm$ 与 $\overline{\delta}_\pm$，从而在微分形式空间上诱导出 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$-分次结构。
• 证明 $d^H$-拉普拉斯算子保持 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$-分次分解，从而实现 SKT 流形上更精细的霍奇理论。
• 证明 SKT 流形上不同拉普拉斯算子之间的恒等式，推广了广义凯勒几何中格瓦尔蒂埃的结果。
• 利用切丛的分解 $\mathbb{T}M = TM \oplus T^*M$ 及其在 $V_+^{1,0}, V_-^{1,0}, V_+^{0,1}, V_-^{0,1}$ 上的分裂，定义广义多尔贝阿勒算子 $\partial_+, \overline{\partial}_+$。
• 通过柯朗括号在 $V_-^{1,0}$ 上建立联络 $\nabla$，并证明对 $\alpha \in \Gamma(V_-^{1,0})$ 有 $\overline{\partial}_+\alpha = \nabla\alpha$，从而将广义多尔贝阿勒算子与固有挠率联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 SKT 流形不满足标准凯勒上同调性质（如 $dd^c$-引理或谱序列退化）的情况下，如何将其霍奇理论扩展？
• RQ2 挠率在阻碍或改变厄米几何中经典霍奇理论结果方面起什么作用？
• RQ3 在存在挠率的情况下，$d^H$-上同调如何与标准多尔贝阿勒上同调及 $\partial\overline{\partial}$-引理相关联？
• RQ4 为何某些 SKT 流形中弗罗利希谱序列无法在第一页退化？能否从几何角度加以解释？
• RQ5 SKT 结构的变形理论是什么？变形的障碍存在于何处？

主要发现

• SKT 流形的 $d^H$-上同调继承了由广义厄米结构的固有挠率诱导的 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$-分次结构。
• $d^H$-拉普拉斯算子保持微分形式空间的 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$-分次分解，从而在 SKT 流形上实现更精细的霍奇理论。
• 证明了不同拉普拉斯算子之间的恒等式，该恒等式迫使弗罗利希谱序列在第一页退化，从而解决了 SKT 上同调中的一个关键障碍。
• 广义多尔贝阿勒算子 $\overline{\partial}_+$ 被识别为 $V_-^{1,0}$ 线丛上的联络 $\nabla$，为该算子提供了几何实现。
• SKT 结构变形的障碍位于 $\partial_+$-复形的 $H^1$-上同调中，从而将变形理论扩展到了挠率几何的设定。
• 某些 SKT 流形中 $dd^c$-引理的失效与谱序列的非退化，可解释为 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$-分次结构与挠率的结果，而非根本性缺陷。