[论文解读] Generalized Kahler geometry

Marco Gualtieri|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 47被引用 36

一句话总结

本文证明了在具有 (2,2) 超对称性的二维 sigma 模型中，广义凯勒几何等价于双赫尔米特几何，通过广义复结构和全纯狄拉克结构引入了一个统一的框架。它表明，广义凯勒结构诱导出两个复结构 $I_+$ 和 $I_-$，每个复结构均携带一个全息柯朗代数丛和横截狄拉克结构，从而在底层的李代数丛之间实现莫蒂塔等价，并使预量子 gerbe 获得与两个复结构相容的广义全息结构。

ABSTRACT

Generalized Kahler geometry is the natural analogue of Kahler geometry, in the context of generalized complex geometry. Just as we may require a complex structure to be compatible with a Riemannian metric in a way which gives rise to a symplectic form, we may require a generalized complex structure to be compatible with a metric so that it defines a second generalized complex structure. We explore the fundamental aspects of this geometry, including its equivalence with the bi-Hermitian geometry on the target of a 2-dimensional sigma model with (2,2) supersymmetry, as well as the relation to holomorphic Dirac geometry and the resulting derived deformation theory. We also explore the analogy between pre-quantum line bundles and gerbes in the context of generalized Kahler geometry.

研究动机与目标

• 建立广义凯勒几何与二维 (2,2) sigma 模型中出现的双赫尔米特几何之间的等价性。
• 阐明广义凯勒对偶 $(I_+, I_-)$ 在复流形上诱导的几何结构，特别是当 $B\partial\bar{\partial}$-引理不成立时的情形。
• 在每个复结构上发展全息狄拉克几何框架，表明广义凯勒结构诱导出横截全息狄拉克结构，并在李代数丛之间实现莫蒂塔等价。
• 解释预量子 gerbe 在广义凯勒几何中的作用，表明它们继承了与两个复结构相容的广义全息结构。
• 通过显示在全息狄拉克结构上具有平坦联络的 gerbe 广义化了辛几何中的预量子线丛，从而拓展几何量子化类比。

提出的方法

• 使用被闭合的三形式扭曲的柯朗代数丛来建模广义几何，扭曲类属于 $H^3(M, \mathbb{R})$。
• 在柯朗代数丛 $E$ 上构造广义复结构 $\mathbb{J}_\pm$，与黎曼度量相容，从而形成广义凯勒结构。
• 应用广义复结构将柯朗代数丛分解为横截全息狄拉克子丛 $L_\pm = \ker(\mathbb{J}_\pm \mp i)$，在底层复流形上诱导出全息结构。
• 使用全息约化程序将狄拉克结构提升至复流形 $X_\pm$ 上的全息柯朗代数丛 $\mathcal{E}_\pm$，每个均配备一对横截全息狄拉克结构 $\mathcal{A}_\pm, \mathcal{B}_\pm$。
• 通过定理 1.15 在赫米特 gerbe $G$ 上的李代数丛 $\mathcal{A}_\pm$ 和 $\mathcal{B}_\pm$ 上建立平坦联络，从而在 $G$ 上诱导出广义全息结构。
• 证明 $\mathcal{A}_\pm^\top \boxtimes \mathcal{B}_\pm$ 的巴尔和给出全息泊松结构 $\sigma_\pm$ 的李代数丛，确保 gerbe 上存在平坦泊松联络。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义凯勒几何与二维 (2,2) sigma 模型中的双赫尔米特几何有何关系？
• RQ2 与广义凯勒结构相关的复流形 $X_\pm$ 上会产生何种几何结构？
• RQ3 全息狄拉克结构及其约化如何与广义凯勒条件相关联？
• RQ4 预量子 gerbe 在广义凯勒几何中扮演何种角色，它们如何推广预量子线丛？
• RQ5 广义凯勒结构所诱导的两个复结构 $I_+$ 和 $I_-$ 所关联的全息李代数丛之间的莫蒂塔等价是如何实现的？

主要发现

• 广义凯勒几何与二维 (2,2) sigma 模型目标空间上的双赫尔米特几何等价，证实了一个长期存在的猜想。
• 广义凯勒结构在底层流形上诱导出两个复结构 $I_+$ 和 $I_-$，它们不必同构，且可能不满足 $\partial\bar{\partial}$-引理。
• 每个复结构 $I_\pm$ 均携带一个全息柯朗代数丛 $\mathcal{E}_\pm$，其可分解为横截全息狄拉克结构 $\mathcal{A}_\pm$ 和 $\mathcal{B}_\pm$，从而诱导出全息泊松结构 $\sigma_\pm$。
• 具有单位酉联络的预量子 gerbe $G$ 在 $\mathbb{J}_+$ 和 $\mathbb{J}_-$ 上继承了广义全息结构，且在全息李代数丛 $\mathcal{A}_\pm$ 和 $\mathcal{B}_\pm$ 上具有平坦联络。
• 在 $X_\pm$ 上的全息 gerbe $\mathcal{G}_\pm$ 对于全息泊松结构 $\sigma_\pm$ 具有平坦泊松联络，该联络源于狄拉克结构的巴尔和。
• 广义凯勒条件在李代数丛 $\mathcal{A}_+$ 与 $\mathcal{B}_-$ 之间，以及 $\mathcal{A}_-$ 与 $\mathcal{B}_+$ 之间诱导出莫蒂塔等价，通过导出等价将两个复结构联系起来。