[论文解读] Holographic theory for continuous phase transitions -- the emergence and symmetry protection of gaplessness

Arkya Chatterjee, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|May 12, 2022

Molecular spectroscopy and chirality被引用 18

一句话总结

本文提出了一种基于对称性/拓扑序（Symm/TO）对应关系的全息框架，以统一描述连续相变、无能隙临界点以及对称性保护的无能隙相。通过在高维拓扑序中对可凝聚代数进行分类，该框架表明当约化对称性拓扑序 M/A 非平凡时，无能隙性即会涌现——这为异常、高阶形式及非可逆对称性系统中的临界性提供了对称性保护机制。

ABSTRACT

Two global symmetries are holo-equivalent if their algebras of local symmetric operators are isomorphic. Holo-equivalent classes of global symmetries are classified by gappable-boundary topological orders (TO) in one higher dimension (called symmetry TO), which leads to a symmetry/topological-order (Symm/TO) correspondence. We establish that: (1) For systems with a symmetry described by symmetry TO $M$, their gapped and gapless states are classified by condensable algebras $A$, formed by elementary excitations in $M$ with trivial self/mutual statistics. Such classified states (called $A$-states) can describe symmetry breaking orders, symmetry protected topological orders, symmetry enriched topological orders, gapless critical points, etc., in a unified way. (2) The local low-energy properties of an $A$-state can be calculated from its reduced symmetry TO $M_{/A}$, using holographic modular bootstrap (holoMB) which takes $M_{/A}$ as an input. Here $M_{/A}$ is obtained from $M$ by condensing excitations in $A$. Notably, an $A$-state must be gapless if $M_{/A}$ is nontrivial. This provides a unified understanding of the emergence and symmetry protection of gaplessness that applies to symmetries that are anomalous, higher-form, and/or non-invertible. (3) The relations between condensable algebras constrain the structure of the global phase diagram. (4) 1+1D bosonic systems with $S_3$ symmetry have four gapped phases with unbroken symmetries $S_3$, $\mathbb{Z}_3$, $\mathbb{Z}_2$, and $\mathbb{Z}_1$. We find a duality between two transitions $S_3 \leftrightarrow \mathbb{Z}_1$ and $\mathbb{Z}_3 \leftrightarrow \mathbb{Z}_2$: they are either both first order or both (stably) continuous, and in the latter case, they are described by the same conformal field theory (CFT).

研究动机与目标

• 开发一种超越朗道对称性守恒理论的统一框架，用于分类无能隙与有能隙量子相。
• 建立体相拓扑序与边界临界性之间的全息对偶性。
• 基于高维拓扑序中的可凝聚代数，解释无能隙性的涌现及其对称性保护机制。
• 分析具有混合异常与非可逆对称性的系统中的连续相变。
• 对具有 S3 和 Z2×Z′2 对称性的 1+1D 系统中的无能隙与有能隙相进行分类，包括异常情况。

提出的方法

• 利用对称性/拓扑序（Symm/TO）对应关系，通过在高一维的可局域边界拓扑序来分类全局对称性。
• 通过其局部对称算符代数的同构性，定义全局对称性的全纯等价性。
• 应用全息模 bootstrap（holoMB）从约化对称性拓扑序 M/A 计算低能性质。
• 通过对称拓扑序 M 中的可凝聚代数 A 识别有能隙与无能隙态，其中 A 由统计性质为平凡的任意子组成。
• 通过分析 M 中可凝聚代数的结构及其相互关系，构建相图。
• 将该框架应用于具有 Z2×Z′2 与 S3 对称性的 1+1D 系统，包括异常与混合异常情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 当朗道理论因非子群对称性关系而失效时，如何系统地分类连续相变？
• RQ2 拓扑序在保护临界相中无能隙性方面起到何种作用？
• RQ3 异常、高阶形式及非可逆对称性如何影响无能隙临界性的涌现？
• RQ4 能否通过单一形式化框架统一描述对称性守恒、SPT 与拓扑序相？
• RQ5 在具有非可逆或异常对称性的系统中，相变是第一阶还是连续的，其决定因素是什么？

主要发现

• 在具有混合异常的 1+1D Z2×Z′2 对称性系统中，存在一个稳定的连续相变（规范量子临界点），发生在 Z2 破坏与 Z′2 破坏相之间，其临界理论与 Z4 对称性破缺相变的临界理论相同。
• 在 1+1D S3 对称性系统中，存在四种有能隙相，其未破缺对称性分别为 S3、Z3、Z2 与 Z1；S3↔Z1 与 Z3↔Z2 的相变要么均为第一阶，要么均为连续，后者由相同的共形场论描述。
• 异常的 S(1)3 与 S(2)3 对称性支持稳定的手性无能隙相，且由对称性保护，表明在异常系统中存在对称性保护的无能隙性。
• Z2×Z′2 混合异常相变的临界点被证明等价于 Z4 对称性破缺临界点，表明存在普遍共形场论描述。
• 该框架表明，若约化对称性拓扑序 M/A 非平凡，则 A 相必为无能隙，从而提供了一般性的对称性保护无能隙机制。
• 该方法成功分类了异常 S3 系统中的有能隙与无能隙相，揭示了连续相变的对偶性与普遍共形场论。