[论文解读] Holomorphic curves and continuation maps in Liouville bundles

Yong‐Geun Oh, Hiro TANAKA|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文为李群流形和扇形的丛构建了展开的弗洛尔理论，建立了单纯形上展开福比卡范畴的相容系统，并证明了通过单极盘和带状区域构造的延续映射是链同伦等价的。该框架使得在包裹福比卡范畴上构造李群的同伦相干作用成为可能，从而在李群流形和单色情形下证明了特勒曼（2014）的猜想。

ABSTRACT

We construct an unwrapped Floer theory for bundles of Liouville sectors. In particular, we construct a compatible collection of unwrapped Fukaya categories of fibers of a Liouville bundle, and prove that the two natural constructions of continuation maps in this setting behave compatibly. These constructions are exploited in [OT19] to construct homotopically coherent actions of Lie groups on wrapped Fukaya categories, thereby proving a conjecture from Teleman's 2014 ICM address.

研究动机与目标

• 为李群流形和扇形的纤维丛发展一致的展开弗洛尔理论。
• 在此几何设定中，利用全纯曲线定义并研究延续映射。
• 证明两种不同的延续映射构造方法（通过单极盘和通过带状区域）是链同伦等价的。
• 为在包裹福比卡范畴上构造李群的同伦相干作用奠定基础。
• 通过李群丛中的全纯曲线，为研究辛拓扑中的对称性提供几何框架。

提出的方法

• 在李群 G 的分类空间 BG 上构造一族映射到光滑单纯形的展开福比卡范畴。
• 利用边界条件位于纤维中且带有极点的全纯曲线来定义延续映射。
• 应用紧致性与正则性技术，包括 C⁰ 和能量估计，以控制伪全纯曲线的模空间。
• 采用范畴和粘合技术，处理带有带状端点和标记点的全纯盘族。
• 利用一阶喷射正则性排除内部参数中的泡状奇点，确保模空间定义良好。
• 应用稳定映射拓扑方案并最小化标记点数量，以证明延续映射的同伦等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为李群流形和扇形的纤维丛一致地定义展开弗洛尔理论？
• RQ2 在此设定中，通过单极盘和通过带状区域构造的两种自然延续映射之间有何关系？
• RQ3 这些延续映射的相容性能否通过链同伦恒等式建立？
• RQ4 如何利用李群丛中的全纯曲线，将李群在李群流形上的作用编码为弗洛尔理论不变量？
• RQ5 该框架能否实现特勒曼（2014）所猜想的李群在包裹福比卡范畴上的同伦相干作用？

主要发现

• 通过单极盘和带状区域构造的两种延续映射被证明是链同伦等价的，从而确立了其相容性。
• 具有边界条件位于纤维中且带有极点的全纯曲线模空间具有紧化形式，其边界分量受控，包括来自低维模空间的贡献。
• 由计数全纯曲线的 0 维模空间所定义的映射 $\mathcal{H}$ 满足恒等式 $ h_{\mathcal{L}}^{\rho} - \mu^2(c^{\chi}_{\mathcal{L}}, \ast) = \mu^1 \mathcal{H} + \mathcal{H} \mu^1 $，从而证明了同伦等价性。
• 单纯形上的展开福比卡范畴定义良好，并与面包含关系相容，构成 BG 上的相干系统。
• 该构造提供了李群在包裹福比卡范畴上同伦相干作用的几何实现，证实了特勒曼（2014）的猜想。
• 该框架通过在 BG 上的李群丛中编码对称性，避免了对严格 G-等变数据的需求。