[论文解读] Continuous and coherent actions on wrapped Fukaya categories

Yong‐Geun Oh, Hiro TANAKA|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 47被引用 6

一句话总结

本文通过范畴局部化与延续映射，建立了李奥维尔自同构群在李奥维尔扇形区域的缠绕弗勒希卡范畴上的连续且一致的 $A_\infty$-函子性作用。它在李奥维尔与单调情形下证明了特勒曼（2014年国际数学家大会）的猜想，并表明阿布扎伊德在缠绕弗勒希卡范畴与局部系统范畴之间的等价关系，将零截面上的微分同胚作用与弗勒希卡范畴上的自同构作用相联系，从而构造出一个非平凡的有理同伦映射至弦拓扑代数。

ABSTRACT

We establish the continuous functoriality of wrapped Fukaya categories with respect to Liouville automorphisms, yielding a way to probe the homotopy type of the automorphism group of a Liouville sector. These methods prove Liouville and monotone cases of a conjecture of Teleman from the 2014 ICM. In the case of a cotangent bundle, we show that the Abouzaid equivalence between the wrapped category and the infinity-category of local systems intertwines our action with the action of diffeomorphisms of the zero section. In particular, our methods yield a typically non-trivial map from the rational homotopy groups of Liouville automorphisms to the rational string topology algebra of the zero section.

研究动机与目标

• 建立李奥维尔自同构群这一拓扑群在缠绕弗勒希卡范畴上的连续且一致的 $A_\infty$-函子性作用。
• 在李奥维尔与单调情形下，解决特勒曼（2014年国际数学家大会）关于弗勒希卡范畴上群作用的猜想。
• 证明阿布扎伊德在缠绕弗勒希卡范畴与局部系统范畴之间的等价关系，将零截面上的微分同胚作用与弗勒希卡范畴上的自同构作用相联系。
• 从李奥维尔自同构群的同伦群构造一个非平凡的有理同伦映射至零截面的弦拓扑代数。

提出的方法

• 两次使用范畴局部化技术，通过李奥维尔丛中的延续映射，构造缠绕弗勒希卡范畴上的连续作用。
• 运用 $A_\infty$-函子性与同伦一致性，定义从李奥维尔自同构空间到缠绕弗勒希卡范畴自同构空间的连续映射。
• 应用阿布扎伊德在 $M = T^*Q$ 时 $\tw\fs{W}(M)$ 与 $C_*\fs{P}(Q)$ 之间的等价关系，证明其与微分同胚作用的相容性。
• 使用单纯与卡恩完备化技术，将 $C_*\fs{P}$ 上的作用与 $\tw\fs{W}$ 上的作用联系起来，借助 $\infty$-范畴中的自然等价关系。
• 构造微分同胚群的神经范畴与局部系统 $\infty$-范畴之间的自然等价，表明 $C_*\fs{P}$ 分类了 $\text{Diff}(Q)$-作用。
• 依赖于局部化的普遍性质与 dg-神经构造，通过阿布扎伊德等价将 $C_*\fs{P}$ 上的作用与 $\tw\fs{W}$ 上的作用联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 李奥维尔自同构群是否在李奥维尔扇形区域的缠绕弗勒希卡范畴上连续且一致地作用？
• RQ2 阿布扎伊德在缠绕弗勒希卡范畴与局部系统范畴之间的等价关系，是否将零截面上的微分同胚作用与弗勒希卡范畴上的自同构作用相联系？
• RQ3 能否从李奥维尔自同构群的同伦群构造一个非平凡的有理同伦映射至零截面的弦拓扑代数？
• RQ4 是否存在 $\text{Aut}^o(M)$ 在 $\fs{W}(M)$ 上的连续 $A_\infty$-函子性作用，且与李奥维尔丛及延续映射的结构相容？
• RQ5 在阿布扎伊德等价下，零截面上的微分同胚作用与弗勒希卡范畴上的作用之间有何关系？

主要发现

• 李奥维尔自同构群 $\text{Aut}^o(M)$ 通过 $A_\infty$-同态作用于缠绕弗勒希卡范畴 $\fs{W}(M)$，实现连续且一致的作用，从而在李奥维尔与单调情形下证实了特勒曼（2014年国际数学家大会）的猜想。
• 当 $M = T^*Q$ 时，阿布扎伊德等价 $\tw\fs{W}(M) \to C_*\fs{P}(Q)$ 将 $\text{Diff}(Q)$ 在 $C_*\fs{P}(Q)$ 上的作用与零截面上微分同胚作用在 $\fs{W}(M)$ 上的诱导作用相联系。
• 该构造产生了一个通常非平凡的映射，从 $\text{Aut}^o(M)$ 的有理同伦群至零截面 $Q$ 的有理弦拓扑代数，为李奥维尔扇形区域提供了一个新的不变量。
• $C_*\fs{P}(Q)$ 上的作用被证明等价于 $\text{Diff}(Q)$ 在局部系统 $\infty$-范畴上的标准作用，通过神经范畴的自然等价与卡恩完备化实现。
• 该证明依赖于两次范畴局部化的应用，避免了复杂的弗勒希卡理论设定，转而利用局部化的普遍性质，函子性地构造作用。
• 通过比较二次与共终缠绕，利用哈密顿作用与作用滤子，证明正向缠绕保持 $HF_{\text{quad}}$，从而确立了等价关系 $\tw\fs{W}(M) \to C_*\fs{P}(Q)$。