[论文解读] Holomorphic reduction of N=2 gauge theories, Wilson-'t Hooft operators, and S-duality

Anton Kapustin|ArXiv.org|Dec 12, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用 89

一句话总结

本文在乘积黎曼曲面 C × Σ 上引入了 N=2 规范理论的全纯约化，得到一个在 C 上的拓扑 B 模型，其目标空间为 Σ 上非交换任意子方程的模空间。研究证明，在扭曲理论中，威尔逊-'t Hooft算符构成一个与规范耦合无关的交换代数，并通过 S duality 群作用于模空间的导出范畴，提出了一种 N=2 的几何朗兰兹对偶的类比。

ABSTRACT

We study twisted N=2 superconformal gauge theory on a product of two Riemann surfaces Sigma and C. The twisted theory is topological along C and holomorphic along Sigma and does not depend on the gauge coupling or theta-angle. Upon Kaluza-Klein reduction along Sigma, it becomes equivalent to a topological B-model on C whose target is the moduli space MV of nonabelian vortex equations on Sigma. The N=2 S-duality conjecture implies that the duality group acts by autoequivalences on the derived category of MV. This statement can be regarded as an N=2 counterpart of the geometric Langlands duality. We show that the twisted theory admits Wilson-'t Hooft loop operators labelled by both electric and magnetic weights. Correlators of these loop operators depend holomorphically on coordinates and are independent of the gauge coupling. Thus the twisted theory provides a convenient framework for studying the Operator Product Expansion of general Wilson-'t Hooft loop operators.

研究动机与目标

• 将 N=4 规范理论中几何朗兰兹对偶的物理推导从 N=4 推广至 N=2 超对称规范理论。
• 在 C × Σ 上构造一个扭曲的 N=2 理论，使其在 C 上为拓扑理论，在 Σ 上为全纯理论，且与规范耦合和 θ 角无关。
• 在扭曲理论中识别出以电荷和磁荷权重标记的威尔逊-'t Hooft环路算符，并研究其算符乘积展开（OPE）。
• 提出一个 N=2 版本的几何朗兰兹对偶，其中 S duality 群通过模空间非阿贝尔任意子方程的导出范畴上的自同构作用实现。
• 建立一个框架，利用允许任意电荷和磁荷的扭曲，计算一般威尔逊-'t Hooft算符的精确 OPE 代数。

提出的方法

• 对 C × Σ 上的 N=2 超共形规范理论进行扭曲，使其在 C 上为拓扑理论，在 Σ 上为全纯理论，且不依赖于规范耦合或 θ 角。
• 沿 C 进行卡鲁扎-克莱因约化，得到一个在 C 上的目标空间为 M_V 的二维拓扑 B 模型，其中 M_V 是 Σ 上非阿贝尔任意子方程的模空间。
• 将威尔逊-'t Hooft算符识别为形式为 γ × p 的 BRST 不变量环路算符，其中 γ 是 C 中的环路，p 是 Σ 中的点，其由共权格和权格模 Weyl 群的对 (μ, ν) 标记。
• 利用相关函数在 Σ 上的全纯依赖性，精确计算威尔逊-'t Hooft算符的 OPE 代数，因其与规范耦合无关。
• 证明 S duality 群通过自同构作用于 M_V 的导出范畴，将几何朗兰兹对应推广至 N=2 理论。
• 通过规范不变多项式在 Higgs 场中的应用，为 M_V 构造一个类似希钦纤维化的结构，显示其基空间为维度 18(g−1) 的锥，带有 7(g−1) 个约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 N=4 扭曲理论中几何朗兰兹对偶的推导推广至 N=2 规范理论？
• RQ2 在包含电荷和磁荷的 N=2 规范理论中，一般威尔逊-'t Hooft算符的算符乘积展开（OPE）代数的结构是什么？
• RQ3 N=2 理论在 C × Σ 上的全纯-拓扑扭曲是否能导致一个一致的框架，以计算与规范耦合无关的精确 OPE？
• RQ4 S duality 如何作用于 N=2 理论中非阿贝尔任意子方程模空间的导出范畴？
• RQ5 非阿贝尔任意子方程模空间 M_V 的几何结构是什么？其与 N=4 理论中希钦模空间相比如何？

主要发现

• 在 C × Σ 上的扭曲 N=2 理论在 C 上为拓扑理论，在 Σ 上为全纯理论，其可观测量与规范耦合和 θ 角无关。
• 威尔逊-'t Hooft环路算符由共权格和权格模 Weyl 群的对 (μ, ν) 标记，其相关函数在 Σ 上全纯依赖。
• 威尔逊-'t Hooft算符的 OPE 代数是交换的，且与规范耦合无关，允许精确的半经典计算。
• 对于纯电荷（威尔逊）算符，其 OPE 代数与群 G 的不可约表示的融合代数一致。
• 对于伴随物质情形下的纯磁荷（'t Hooft）算符，其 OPE 代数与朗兰兹对偶群 L G 的不可约表示的融合代数一致。
• S duality 群通过自同构作用于非阿贝尔任意子方程模空间 M_V 的导出范畴，为 N=2 理论提供了几何朗兰兹对偶的类比。