[论文解读] Superconformal Index, BPS Monodromy and Chiral Algebras

Sergio Cecotti, Jaewon Song+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 43被引用 8

一句话总结

本文提出，4d ${\cal N}=2$ 超共形指数在 $t = qp^{N+1}$ 且 $p \to \exp(2\pi i)$ 时的特殊化，给出 Kontsevich-Soibelman BPS 单值变换算符的 $N$ 次幂的迹，即 $\mathrm{Tr}\,{\cal M}(q)^N$。本文提供了证据表明这些极限定义了一族 2d 顶点代数 $\mathcal{A}_N$，其推广了 Schur 指数情形（$N=-1$），并确定了当 $N>0$ 时的中心荷为 $c^{2d} = 12Nc^{4d}$，并通过在 $S^2 \times T^2$ 上紧化及椭圆亏格计算进行了自洽性检验。

ABSTRACT

We show that specializations of the 4d $\mathcal{N}=2$ superconformal index labeled by an integer $N$ is given by $ extrm{Tr}\,{\cal M}^N$ where ${\cal M}$ is the Kontsevich-Soibelman monodromy operator for BPS states on the Coulomb branch. We provide evidence that the states enumerated by these limits of the index lead to a family of 2d chiral algebras $\mathcal{A}_{N}$. This generalizes the recent results for the $N=-1$ case which corresponds to the Schur limit of the superconformal index. We show that this specialization of the index leads to the same integrand as that of the elliptic genus of compactification of the superconformal theory on $S^2 imes T^2$ where we turn on $\frac{1}{2} N$ units of $U(1)_r$ flux on $S^2$.

研究动机与目标

• 将 Schur 指数（$N=-1$）作为 $\mathrm{Tr}\,{\cal M}(q)^{-1}$ 的识别推广至任意整数 $N$，通过指数特殊化实现。
• 确立所得指数特殊化确实对应于 BPS 单值变换算符 $\cal M(q)$ 的 $N$ 次幂的迹。
• 为与每个此类特殊化相关的 2d 顶点代数 $\mathcal{A}_N$ 的存在性提供证据。
• 计算 $\mathcal{A}_N$ 的中心荷，并通过 2d CFT 特征标性质验证其一致性。

提出的方法

• 提出指数特殊化的推广：$t = qp^{N+1}$，$p \to \exp(2\pi i)$，以提取 $\mathrm{Tr}\,{\cal M}(q)^N$。
• 使用 Jeffrey–Kirwan 残渣方法，计算在 $S^2$ 上紧化且带有 $\frac{1}{2}N$ 单位 $U(1)_r$ 涌流的 4d SCFT 所得的 2d $(0,2)$ 理论的椭圆亏格。
• 证明椭圆亏格的被积函数与特殊化指数的被积函数一致，从而确认对偶性。
• 在极端弱耦合极限下，利用指数的 BPS 状态内容构造顶点代数 $\mathcal{A}_N$。
• 应用 Andrews–Gordon 恒等式与 Bailey 对技术，计算 $(A_1, A_{2n+1})$ Argyres-Douglas 理论的 $\mathrm{Tr}\,{\cal M}(q)^{-1}$。
• 通过显式特征标计数与模性质，验证 $N>0$ 时的中心荷公式 $c^{2d} = 12Nc^{4d}$ 以及 $N<0$ 时的 $c^{2d}_{\text{eff}} = -48N(c^{4d} - a^{4d})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般整数 $N$，BPS 单值变换算符 $\cal M(q)$ 的 $N$ 次幂是否对应于 4d ${\cal N}=2$ 超共形指数的一个良好定义的特殊化？
• RQ2 所得指数特殊化是否可解释为 2d 顶点代数 $\mathcal{A}_N$ 的特征标？
• RQ3 2d 顶点代数 $\mathcal{A}_N$ 的中心荷为何？它与 4d 的 $c$-函数和 $a$-函数有何关系？
• RQ4 在 $S^2 \times T^2$ 上紧化 4d SCFT 并施加 $U(1)_r$ 涌流时，为何能重现与特殊化指数相同的被积函数？
• RQ5 中心荷 $c^{2d}$ 与 $c^{2d}_{\text{eff}}$ 是否与 2d CFT 的幺正性与模性质一致？

主要发现

• 在 $t = qp^{N+1}$ 且 $p \to \exp(2\pi i)$ 时的超共形指数特殊化，给出 $\mathrm{Tr}\,{\cal M}(q)^N$，推广了 $N=-1$ 的情形。
• 当 $N > 0$ 时，2d 顶点代数 $\mathcal{A}_N$ 的中心荷为 $c^{2d} = 12Nc^{4d}$，与 $\cal M(q)^N$ 作为幺正 2d CFT 特征标的迹一致。
• 当 $N < 0$ 时，有效中心荷为 $c^{2d}_{\text{eff}} = -48N(c^{4d} - a^{4d})$，与顶点代数态的生长行为一致。
• 在 $S^2$ 上紧化并带有 $\frac{1}{2}N$ 单位 $U(1)_r$ 涌流的 2d $(0,2)$ 理论的椭圆亏格，其被积函数与特殊化指数相同。
• 对 $(A_1, A_{2n+1})$ Argyres-Douglas 理论的显式计算确认了 $\mathrm{Tr}\,{\cal M}(q)^{-1} = \prod_{n \neq 0, \pm 1 \mod (2n+3)} (1 - q^n)^{-1}$，与 Andrews–Gordon 恒等式一致。
• 顶点代数 $\mathcal{A}_N$ 在极端弱耦合极限下构造完成，其中 $\mathcal{A}_{-1}$ 恢复了已知的 Schur 指数顶点代数。