[论文解读] Hom-Lie-Yamaguti Superalgebras

Donatien Gaparayi, Sylvain Attan|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文引入了同态-李-山口超代数作为李-山口超代数的同态型推广，统一了同态-李超代数与同态-李超三重系统。研究证明，可乘同态-李-山口超代数的范畴在自同态的扭变换和 $n^{th}$-导出构造下是封闭的，将导代数理论扩展至二元-三元同态超代数体系。

ABSTRACT

(Multiplicative) Hom-Lie-Yamaguti superalgebras which generalize Hom-Lie supertriple systems (and subsequently ternary multiplicative Hom-Nambu superalgebras) and Hom-Lie superalgebras in the same way as Lie-Yamaguti superalgebras [Frac] generalize Lie supertriple systems and Lie superalgebras are defined. We show that the category of (multiplicative) Hom-Lie-Yamaguti superalgebras is closed under twisting by self-morphisms. Construction of some examples of Hom-Lie-Yamaguti superalgebras is given. The notion of an $n^{th}-$derived (binary) Hom-superalgebras is extended to the one of an $n^{th}-$derived binary-ternary Hom-superalgebras and it is shown that the category of Hom-Lie-Yamaguti superalgebras is closed under the process of taking $n^{th}-$ derived Hom-superalgebras.

研究动机与目标

• 定义并形式化同态-李-山口超代数，作为同态-李超代数与同态-李超三重系统的推广。
• 将 $n^{th}$-导出（二元）同态超代数的概念推广至二元-三元情形，引入 $n^{th}$-导出二元-三元同态超代数。
• 证明可乘同态-李-山口超代数的范畴在取 $n^{th}$-导出代数的过程中保持封闭。
• 证明通过自同态进行扭变换可保持同态-李-山口超代数的结构。
• 证明当二元或三元运算消失时，$n^{th}$-导出构造的特例可恢复已知结构：当二元运算消失时为同态-李超三重系统，当三元运算消失时为同态-李超代数。

提出的方法

• 将同态-李-山口超代数定义为 $\mathbb{Z}_2$-分次向量空间 $L = L_0 \oplus L_1$，配备一个二元超运算 $*$ 和一个三元超运算 $\{, ,\}$，满足分次反对称性、超雅可比恒等式及广义莱布尼茨型恒等式。
• 引入扭映射 $\alpha$ 作为线性自同态，以变形李-山口超代数的原始恒等式，当 $\alpha = \text{id}$ 时可恢复原始结构。
• 通过迭代应用扭映射 $\alpha$ 构造 $n^{th}$-导出同态超代数 $A^{(n)}$，定义新运算 $[x,y]^{(n)} = \alpha^{2^n - 1}([x,y])$ 与 $\{x,y,z\}^{(n)} = \alpha^{2^n - 1}(\{x,y,z\})$。
• 通过归纳法并利用 $\alpha$ 的可乘性，验证 $n^{th}$-导出代数 $A^{(n)}$ 满足同态-李-山口超代数的所有定义恒等式。
• 利用 $\alpha$ 的可乘性，将原始代数 $A_\alpha$ 中的恒等式转移至 $A^{(n)}$，确保在导出构造下保持封闭。
• 在导出代数中应用超换位子括号与三元运算，证明如 $(SHLY6)$、$(SHLY7)$ 与 $(SHLY8)$ 等恒等式可通过 $\alpha$-扭变与迭代过程得以保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地定义同态型李-山口超代数的推广，以统一同态-李超代数与同态-李超三重系统？
• RQ2 可乘同态-李-山口超代数的范畴在自同态扭变换下是否保持封闭？
• RQ3 能否将 $n^{th}$-导出（二元）同态超代数的概念扩展至二元-三元情形，且是否保持同态-李-山口超代数结构？
• RQ4 当二元或三元运算在 $A_\alpha$ 中消失时，$n^{th}$-导出代数会发生什么变化？是否能恢复已知结构如同态-李超三重系统或同态-李超代数？
• RQ5 在何种条件下，$n^{th}$-导出构造能保持同态-李-山口超代数的定义恒等式？

主要发现

• 可乘同态-李-山口超代数的范畴在自同态扭变换下保持封闭，即对同态-李-山口超代数应用自同态 $\alpha$ 后，结果仍为同态-李-山口超代数。
• $n^{th}$-导出构造保持同态-李-山口超代数结构：若 $A_\alpha$ 为可乘同态-李-山口超代数，则其 $n^{th}$-导出代数 $A^{(n)}$ 亦为同态-李-山口超代数。
• 当 $A_\alpha$ 中的二元运算 $*$ 消失时，$n^{th}$-导出代数成为同态-李超三重系统，因而亦为三元同态-南伯超代数。
• 当 $A_\alpha$ 中的三元运算 $\{, ,\}$ 消失时，$n^{th}$-导出代数退化为同态-李超代数。
• $A^{(n)}$ 中恒等式如 $(SHLY6)$、$(SHLY7)$ 与 $(SHLY8)$ 的验证依赖于 $\alpha$ 的可乘性，以及通过 $\alpha$-扭变从 $A_\alpha$ 转移恒等式。
• $n^{th}$-导出代数 $A^{(n)}$ 通过 $[x,y]^{(n)} = \alpha^{2^n - 1}([x,y])$ 与 $\{x,y,z\}^{(n)} = \alpha^{2^n - 1}(\{x,y,z\})$ 构造，确保与原始代数结构相容。