[论文解读] Hom-quantum groups III: Representations and module Hom-algebras

Donald Yau|ArXiv.org|Nov 28, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 45被引用 31

一句话总结

本文引入并系统研究了 Hom-量子群的表示与模 Hom-代数——一种具有非-(共)结合结构的量子群的扭曲推广。通过两个新颖的“扭曲原理”，构造了 Hom-量子群、其模以及模 Hom-代数的衍生族，包括多参数的 Hom-Verma 模族，以及在 Hom-量子平面上的 $U_q(\mathfrak{sl}_2)_{\gamma}$-模 Hom-代数结构的不可数族。

ABSTRACT

We study Hom-quantum groups, their representations, and module Hom-algebras. Two Twisting Principles for Hom-type algebras are formulated, and construction results are proved following these Twisting Principles. Examples include Hom-quantum n-spaces, Hom-quantum enveloping algebras of Kac-Moody algebras, Hom-Verma modules, and Hom-type analogs of U_q(sl_2)-module-algebra structures on the quantum planes.

研究动机与目标

• 建立 Hom-量子群的表示与模 Hom-代数的系统理论，将量子群理论推广至非-(共)结合设定。
• 提出并证明两个新的扭曲原理，用于从初始结构生成 Hom-代数结构的衍生序列。
• 将量子群在量子平面上的共作用推广至 Hom-量子几何，构造 Hom-量子平面上新的模 Hom-代数结构。
• 显式构造 Hom-量子包络代数上的有限维与无限维模，包括 Hom-Verma 模。
• 建立通过自同态进行扭曲时，模 Hom-代数结构保持 Hom-代数公理的条件。

提出的方法

• 提出第一扭曲原理：通过适当的自同态将普通代数结构转化为 Hom-型结构。
• 提出第二扭曲原理：通过迭代扭曲映射 $\alpha$，从已有 Hom-代数中导出新 Hom-代数，生成衍生序列。
• 证明 Hom-((共)结合)(共)代数、Hom-双代数及其准三角/对三角变体的扭曲原理。
• 使用第一扭曲原理与配对态射，构造 $U_q(\mathfrak{sl}_n)_{\alpha}$ 上的有限维模。
• 通过将第一扭曲原理应用于标准 Verma 模，构造 $U_q(\mathfrak{sl}_2)_{\alpha}$ 上的无限维 Hom-Verma 模。
• 建立在自同态 $\alpha$ 下，Hom-结合代数 $A$ 上的模 Hom-代数结构被保持的条件，使用条件 $\alpha \circ \rho = \rho \circ (\alpha_\lambda \otimes \alpha)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过扭曲将标准量子群表示推广至非结合的 Hom-量子群？
• RQ2 在何种条件下，Hom-结合代数上的模能导出其衍生 Hom-代数上的双序列模？
• RQ3 能否利用扭曲原理将量子平面上的模-代数结构推广至 Hom-量子几何？
• RQ4 Hom-量子平面上 $U_q(\mathfrak{sl}_2)_{\gamma}$-模 Hom-代数结构的显式形式是什么？它们如何依赖于参数？
• RQ5 对 Hom-辫子或扭曲映射 $\alpha$ 进行重复扭曲所得到的衍生结构，如何影响 Hom-量子群的表示理论？

主要发现

• 在 Hom-量子平面 $(\mathbb{A}^{2|0}_q)_{\beta}$ 上，构造了一个不可数的、四参数的 $U_q(\mathfrak{sl}_2)_{\gamma}$-模 Hom-代数结构族，参数为 $\lambda \in \mathbf{C} \setminus \{0\}$，$\xi \in \mathbf{C}$，以及整数 $l,k \geq 0$。
• 在 Hom-量子平面上，构造了一个不可数的、三参数的 $U_q(\mathfrak{sl}_2)_{\gamma}$-模 Hom-代数结构族，源自一种非标准的 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$-模-代数结构，参数为 $\lambda \in \mathbf{C} \setminus \{0\}$，$l,k \geq 0$。
• 在两种构造中，通过设定 $\lambda = 1$ 且 $\xi = 1$，均可恢复原始的 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$-模-代数结构于量子平面 $\mathbb{A}^{2|0}_q$ 上。
• 通过第一扭曲原理，显式构造了 $U_q(\mathfrak{sl}_2)_{\alpha}$ 上的 Hom-Verma 模作为无限维模，其作用在单项式 $x^m y^n$ 上定义。
• Hom-Verma 模上 $K^{\pm 1}$ 的作用为 $\rho_{\alpha}^{l,k}(K^{\pm 1}, x^m y^n) = q^{\pm(m-2n)} \lambda^{-2^k n} x^m y^n$，明确显示出对扭曲参数的依赖。
• Hom-Verma 模上 $E$ 和 $F$ 的作用分别为 $\rho_{\alpha}^{l,k}(E, x^m y^n) = q^{1-n}[n]_q \lambda^{l-2^k(n-1)} x^m y^{n-1}$ 和 $\rho_{\alpha}^{l,k}(F, x^m y^n) = q^{-m}\frac{q^{2m}-q^{2n}}{q-q^{-1}} \lambda^{-l-2^k(n+1)} x^m y^{n+1}$。