[论文解读] Homological mirror symmetry for Milnor fibers of simple singularities

Yankı Lekili, Kazushi Ueda|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文通过建立Milnor纤维的导出wrapped Fukaya范畴与关联于可逆多项式转置的矩阵因子化范畴之间的拟等价性，证明了在维度大于一的情况下，简单奇点的Milnor纤维的同调镜像对称性。关键结果证实了[LU, Conjecture 1.5]中的猜想1.1，适用于所有维度>1的简单奇点，方法包括Calabi–Yau完备化以及对导出n-预投影代数和Milnor纤维的上同调的显式Hochschild上同调计算。

ABSTRACT

We prove homological mirror symmetry for Milnor fibers of simple singularities in dimensions greater than one, which are among the log Fano cases of Conjecture 1.5 in arXiv:1806.04345. The proof is based on a relation between matrix factorizations and Calabi--Yau completions. As an application, we give an explicit computation of the Hochschild cohomology group of the derived $n$-preprojective algebra of a Dynkin quiver for any $n \geq 1$, and the symplectic cohomology group of the Milnor fiber of any simple singularity in any dimension greater than one.

研究动机与目标

• 建立维度大于一的简单奇点的Milnor纤维的同调镜像对称性。
• 通过矩阵因子化范畴与wrapped Fukaya范畴之间的拟等价性，验证[LU, Conjecture 1.5]中的猜想1.1。
• 显式计算任意Dynkin图和任意n ≥ 1的导出n-预投影代数的Hochschild上同调。
• 确定维度>1的任意简单奇点的Milnor纤维的辛上同调。

提出的方法

• 对于n ≥ 2，使用形式右等价性，建立Γw-等变矩阵因子化范畴mf(w + x₀⋯xₙ₊₁, Γw)与mf(w, Γw)之间的拟等价性。
• 应用n-Calabi–Yau完备化，通过Πⁿ(mf(An+1, Γw, w)) ≃ mf(An+2, Γw, w)将w的矩阵因子化与Dynkin图路径代数的矩阵因子化联系起来。
• 利用已知的矩阵因子化与Dynkin图路径代数上的完美复形之间的等价性（例如通过Knörrer周期性或突变），识别mf(An+1, Γw, w) ≃ perf AQ。
• 通过计算Πⁿ(perf AQ)的Hochschild上同调，填补[EL17]中关于E型奇点的空白，证明最终的拟等价性W(φ⁻¹(1)) ≃ Πⁿ(perf AQ)。
• 通过雅可比环和分次分量上的谱序列计算Hochschild上同调，分析与典范类χ成比例的次数。
• 通过群特征的显式参数化及Jacwγ ⊗ Λdim Nγ N∨γ中的单项式基，计算HHt和HHt+1的贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 维度大于一的简单奇点的Milnor纤维是否满足同调镜像对称性？
• RQ2 Landau–Ginzburg镜像([An+2/Γw], w + x₀⋯xₙ₊₁)是否与Milnor纤维φ⁻¹(1)的导出wrapped Fukaya范畴拟等价？
• RQ3 任意n ≥ 1的Dynkin图的导出n-预投影代数的Hochschild上同调是什么？
• RQ4 维度>1的简单奇点的Milnor纤维的辛上同调是什么？
• RQ5 在镜像对称下，导出n-预投影代数与Milnor纤维的上同调群如何对应？

主要发现

• 对于所有维度n+1 ≥ 3的简单奇点，拟等价性mf(An+2, Γw, w + x₀⋯xₙ₊₁) ≃ W(φ⁻¹(1))成立，证实了n ≥ 2时的猜想1.1。
• 显式计算了任意Dynkin图Q和任意n ≥ 1的导出n-预投影代数的Hochschild上同调，HHt和HHt+1的贡献来自Jacwγ ⊗ Λdim Nγ N∨γ中的单项式。
• 对于E₆型，HHt和HHt+1的贡献来自满足7k₀ + 3k₁ + 5k₂ = 15m（m ∈ ℕ）的(k₀, k₁, k₂)，当n = 1时t = 2m，当n > 1时t = 12k₁ + 20k₂ + 58m′ − (6k₁ + 10k₂ + 30m′)n。
• 对于E₈型，当n > 1时，HHt和HHt+1的贡献来自满足7k₀ + 3k₁ + 5k₂ = 15m且k₀为偶数的解；当n为奇数时，来自满足14k₀ + 6k₁ + 10k₂ = 30m且k₀为奇数的解。
• 维度>1的任意简单奇点的Milnor纤维的辛上同调同构于导出n-预投影代数的Hochschild上同调，HHn从E₈的ker χ中的8个元素和E₆的6个元素获得贡献。
• 对于E₈，当m = −1时，元素x∨₀ ⊗ x²₁ ⊗ x∨₃ ∧ ⋯ ∧ x∨ₙ₊₁向HHn贡献C(−n)，且ker χ中的8个群元素也向HHn贡献C(−n)，从而确认了辛上同调的结构。