[论文解读] Homological mirror symmetry for open Riemann surfaces from pair-of-pants decompositions

Heather Ming Lee|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用 19

一句话总结

本文通过利用成对裤状分解计算变型的 Fukaya 范畴，建立了带 puncture 的黎曼曲面的同调镜像对称。结果表明，该范畴与镜像 Landau-Ginzburg 模型的奇点范畴等价。构造过程通过一致的 $A_\infty$-结构和限制函子，在柱状重叠区域上粘合单个裤状片的变型 Fukaya 范畴，实现了从局部片段的层论重建辛侧。

ABSTRACT

Given a punctured Riemann surface with a pair-of-pants decomposition, we compute its wrapped Fukaya category in a suitable model by reconstructing it from those of various pairs of pants. The pieces are glued together in the sense that the restrictions of the wrapped Floer complexes from two adjacent pairs of pants to their adjoining cylindrical piece agree. The $A_\infty$-structures are given by those in the pairs of pants. The category of singularities of the mirror Landau-Ginzburg model can also be constructed in the same way from local affine pieces that are mirrors of the pairs of pants.

研究动机与目标

• 开发一种层论方法，利用成对裤状分解计算带 puncture 的黎曼曲面的变型 Fukaya 范畴。
• 通过将变型 Fukaya 范畴与镜像 Landau-Ginzburg 模型的奇点范畴匹配，建立开放黎曼曲面的同调镜像对称。
• 解决在重叠区域粘合变型 Fukaya 范畴的挑战，确保限制函子与 $A_\infty$-结构的一致性。
• 将粘合过程推广至卡拉比-丘流形之外的非紧、开放辛流形，通过 Liouville 结构与变型 Floer 理论实现。

提出的方法

• 本文使用带 puncture 的黎曼曲面 $H$ 的成对裤状分解，将其分解为微分同胚于带三个 puncture 的球面的标准块。
• 通过重构单个裤状片的 $A_\infty$-范畴（基于 [AAEKO13] 的已知结构），计算变型 Fukaya 范畴 $\mathcal{W}(H)$。
• 通过从 $\mathcal{W}(S_i)$ 到 $\mathcal{W}(S_1 \cap S_2)$ 的 $A_\infty$-限制函子实现粘合，确保在重叠的柱状区域上 Floer 复形的一致性。
• 通过粘合与裤状片对偶的局部仿射块，构建镜像 Landau-Ginzburg 模型，其奇点范畴作为限制函子的极限构造而成。
• 本文通过证明在粘合过程中两个范畴的态射空间匹配，证明了变型 Fukaya 范畴与奇点范畴之间的拟等价性。
• 利用曲线与射影直线上的层上同调计算，将 $\operatorname{Hom}^{*}(L_\alpha(k), L_\beta(l))$ 与 $\operatorname{Hom}_{D_{sg}}(\mathcal{O}_{D_\alpha}(k), \mathcal{O}_{D_\beta}(l)[*])$ 匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 $A_\infty$-粘合方法，利用成对裤状分解重构带 puncture 的黎曼曲面的变型 Fukaya 范畴？
• RQ2 单个裤状片的 $A_\infty$-结构如何组合形成全局的变型 Fukaya 范畴？
• RQ3 镜像 Landau-Ginzburg 模型的奇点范畴是否与辛侧的变型 Fukaya 范畴等价？
• RQ4 变型 Fukaya 范畴中的态射空间与矩阵因子化范畴中的态射空间之间的确切关系是什么？
• RQ5 在非紧、非卡拉比-丘几何下，能否使用限制函子在 Liouville 子域之间粘合变型 Fukaya 范畴？

主要发现

• 带 puncture 的黎曼曲面 $H$ 的变型 Fukaya 范畴 $\mathcal{W}(H)$ 被计算为来自其裤状分解中各部分的限制函子的极限。
• 变型 Fukaya 范畴中态射空间 $\operatorname{Hom}^{*}(L_\alpha(k), L_\beta(l))$ 同构于镜像奇点范畴中的 $\operatorname{Hom}_{D_{sg}}(\mathcal{O}_{D_\alpha}(k), \mathcal{O}_{D_\beta}(l)[*])$。
• 当 $\alpha = \beta$ 时，态射空间 $\operatorname{Hom}^{*}(L_\alpha(k), L_\alpha(l))$ 同构于 $\mathcal{O}_C(l-k)$ 的上同调，其中 $H^0$ 与 $H^1$ 通过齐次坐标与分量上的等价关系计算得出。
• 当 $\alpha \ne \beta$ 时，态射空间 $\operatorname{Hom}^{*}(L_\alpha(k), L_\beta(l))$ 同构于 $\mathcal{O}_{D_{\alpha\beta}}(D_\alpha)(l-k)$ 的上同调，若 $D_{\alpha\beta}$ 无界则为 $\mathbb{C}$，若有界则为齐次多项式的直和。
• 当 $D_{\alpha\beta} \cong \mathbb{P}^1$ 时，上同调 $H^0$ 与 $H^1$ 通过次数条件计算：若 $n_{\alpha\beta}(l-k) \geq -d_{\alpha,\beta}$，则 $H^0 \cong \mathbb{C}[x:y]^{n_{\alpha\beta}(l-k)+d_{\alpha,\beta}}$；当 $n_{\alpha\beta}(l-k) < -d_{\alpha,\beta}-1$ 时，$H^1$ 对偶于次数为 $n_{\alpha\beta}(k-l)+d_{\alpha,\beta}+2$ 的齐次多项式。
• 本文建立了变型 Fukaya 范畴 $\mathcal{W}(H)$ 与奇点范畴 $D_{sg}(W^{-1}(0))$ 之间的拟等价性，确认了该类开放黎曼曲面的同调镜像对称。