[论文解读] Homological mirror symmetry is T-duality for $\mathbb P^n$

Bohan Fang|ArXiv.org|Apr 4, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文通过将T-对偶性视为$\mathbb{P}^n$上的全纯线丛与朗道-金兹堡镜像中拉格朗日子流形之间的对应关系，建立了$\mathbb{P}^n$的同调镜像对称。利用可构造层与环图结构，证明了这些拉格朗日子流形的导出Fukaya范畴与$\mathbb{P}^n$上的凝聚层导出范畴之间存在拟等价，从而通过T-对偶性实现了同调镜像对称。

ABSTRACT

In this paper, we apply the idea of T-duality to projective spaces. From a connection on a line bundle on $\mathbb P^n$, a Lagrangian in the mirror Landau-Ginzburg model is constructed. Under this correspondence, the full strong exceptional collection $\mathcal O_{\mathbb P^n}(-n-1),...,\mathcal O_{\mathbb P^n}(-1)$ is mapped to standard Lagrangians in the sense of \cite{nz}. Passing to constructible sheaves, we explicitly compute the quiver structure of these Lagrangians, and find that they match the quiver structure of this exceptional collection of $\mathbb P^n$. In this way, T-duality provides quasi-equivalence of the Fukaya category generated by these Lagrangians and the category of coherent sheaves on $\mathbb P^n$, which is a kind of homological mirror symmetry.

研究动机与目标

• 通过T-对偶性作为A模型与B模型之间的几何桥梁，建立$\mathbb{P}^n$的同调镜像对称。
• 通过T-对偶性从$\mathbb{P}^n$上的全纯线丛构造朗道-金兹堡镜像中特定的拉格朗日子流形。
• 证明由这些拉格朗日子流形生成的导出Fukaya范畴与$\mathbb{P}^n$上的凝聚层导出范畴之间存在拟等价。
• 将标准拉格朗日子流形的环图结构与例外全息系$\mathcal{O}(-n-1), \dots, \mathcal{O}(-1)$的结构相匹配，从而确认范畴等价。

提出的方法

• 将T-对偶性应用于$\mathbb{P}^n$上的全纯线丛，以在镜像空间$(\mathbb{C}^*)^n$中构造$n+1$个拉格朗日子流形$\mathcal{L}(-1), \dots, \mathcal{L}(-n-1)$。
• 通过[23]和[22]的结果，从拉格朗日子流形过渡到可构造层，利用T-对偶性构造所诱导的分层结构。
• 通过计算特定子复形$\Omega(\mathcal{U}^b(j), d)$上的微分形式的上同调，计算可构造层范畴中的态射空间。
• 通过显式生成元$x^b_{i,j}$，在可构造层范畴中的态射空间与$D^b Coh(\mathbb{P}^n)$中的态射空间之间建立同构。
• 验证可构造层范畴中态射的复合与凝聚层范畴中的乘法一致，从而确认环图等价。
• 利用例外全息系$\mathcal{O}(-n-1), \dots, \mathcal{O}(-1)$是完全且强的这一事实，得出范畴的 triangulated 等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过T-对偶性从$\mathbb{P}^n$上的全纯线丛构造朗道-金兹堡镜像模型中的拉格朗日子流形？
• RQ2 通过T-对偶性获得的拉格朗日子流形是否能生成一个与$D^b Coh(\mathbb{P}^n)$拟等价的Fukaya范畴？
• RQ3 Fukaya范畴中拉格朗日子流形的环图结构是否与例外全息系$\mathcal{O}(-n-1), \dots, \mathcal{O}(-1)$同构？
• RQ4 拉格朗日子流形与线丛之间的对应关系是否在上同调与层生成元的层次上保持态射的复合？

主要发现

• 由拉格朗日子流形$\mathcal{L}(-1), \dots, \mathcal{L}(-n-1)$生成的导出Fukaya范畴与$D^b Coh(\mathbb{P}^n)$之间存在拟等价，从而通过T-对偶性确立了$\mathbb{P}^n$的同调镜像对称。
• 镜像空间上可构造层范畴中的态射空间与$D^b Coh(\mathbb{P}^n)$中的态射空间同构，其生成元$e^b_{i,j}$映射到线丛上同调中的单项式$x^b_{i,j}$。
• 拉格朗日子流形的环图结构与例外全息系$\mathcal{O}(-n-1), \dots, \mathcal{O}(-1)$完全一致，其中$N_n(i-j)$个生成元对应于多面体区域内的格点数。
• 可构造层范畴中态射的复合对应于楔积，且与凝聚层范畴中的乘法一致，从而确认了代数等价性。
• 由拉格朗日子流形诱导的镜像空间$(S^1)^n$的分层结构与Bondal为toric簇所定义的分层结构一致，将T-对偶性与现有的代数几何构造联系起来。
• 该方法可推广至所有射影toric簇，恢复了Abouzaid对光滑toric簇的结果，提示出通过T-对偶性实现同调镜像对称的一般框架。