[论文解读] Homology Computation of Large Point Clouds using Quantum Annealing

Raouf Dridi, Hedayat Alghassi|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2015

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 29被引用 14

一句话总结

本文提出了一种用于通过使用团覆盖将大规模点云分解为可管理子复形来计算其同调的量子退火流水线。该方法利用量子退火求解三个团覆盖的QUBO公式，使在覆盖步骤之后实现数据规模的多项式时间扩展，且已在D-Wave 2X处理器上成功测试。

ABSTRACT

Homology is a tool in topological data analysis which measures the shape of the data. In many cases, these measurements translate into new insights which are not available by other means. To compute homology, we rely on mathematical constructions which scale exponentially with the size of the data. Therefore, for large point clouds, the computation is infeasible using classical computers. In this paper, we present a quantum annealing pipeline for computation of homology of large point clouds. The pipeline takes as input a graph approximating the given point cloud. It uses quantum annealing to compute a clique covering of the graph and then uses this cover to construct a Mayer-Vietoris complex. The pipeline terminates by performing a simplified homology computation of the Mayer-Vietoris complex. We have introduced three different clique coverings and their quantum annealing formulation. Our pipeline scales polynomially in the size of the data, once the covering step is solved. To prove correctness of our algorithm, we have also included tests using D-Wave 2X quantum processor.

研究动机与目标

• 通过拓扑数据分析解决大规模点云同调计算的经典指数级扩展问题。
• 开发一种量子优化流水线，以克服经典同调计算中的计算瓶颈。
• 通过将团覆盖问题重新表述为可通过量子退火求解的QUBO问题，实现可扩展的同调计算。
• 通过D-Wave 2X量子处理器验证该流水线的可行性与正确性。
• 提供一种与求解器无关的框架，使量子退火加速团覆盖步骤，从而实现在大规模数据集上的多项式时间同调计算。

提出的方法

• 通过1-骨架图近似点云，并通过团扩展构建单纯复形。
• 通过使用团覆盖1-骨架图，应用Mayer-Vietoris展开构造，将复形分解。
• 将三种团覆盖问题——最小边团覆盖、最小顶点团覆盖和边不相交边团覆盖——表述为无约束二次二值优化（QUBO）问题。
• 通过逻辑量子比特嵌入和自旋链映射，将QUBO问题映射到D-Wave 2X处理器的Chimera架构。
• 使用量子退火求解QUBO问题，获得压缩单纯数据的团覆盖。
• 从团覆盖构建Mayer-Vietoris复形，并在所得复形上执行简化的同调计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子退火能否有效用于求解支撑大规模点云可扩展同调计算的团覆盖问题？
• RQ2 与经典指数级扩展相比，所提出的流水线在团覆盖步骤之后是否实现了数据规模的多项式扩展？
• RQ3 D-Wave 2X处理器能否可靠求解同调计算所需的团覆盖QUBO公式？
• RQ4 不同团覆盖公式（边、顶点、边不相交）如何影响最终同调计算的效率与准确性？
• RQ5 Mayer-Vietoris复形构造在多大程度上保持了原始点云的拓扑不变量（例如贝蒂数）？

主要发现

• 一旦团覆盖步骤被求解，该流水线在同调计算中实现了数据规模的多项式扩展，克服了经典指数级扩展。
• 成功实现了并测试了三种不同的团覆盖QUBO公式——最小边团覆盖、最小顶点团覆盖和边不相交边团覆盖。
• D-Wave 2X处理器成功求解了团覆盖的QUBO问题，且在最多16个节点和56条边的图上验证了嵌入。
• 在12×12的Chimera晶格上，成功验证了包含50个变量、280个问题耦合项和586个链耦合项的QUBO问题的嵌入。
• 该流水线正确计算了测试图的贝蒂数，结果表中通过勾号确认了成功嵌入。
• 该方法表明，量子退火可用于通过团覆盖压缩大规模单纯复形，从而实现对大规模数据的高效拓扑分析。