[论文解读] Homotopical inverse diagrams in categories with attributes

Chris Kapulkin, Peter LeFanu Lumsdaine|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文在具有属性的范畴（CwA）中构建了同伦逆图，表明诸如 Π-类型、同伦等价类型和 Σ-类型等逻辑结构可从基底 CwA 提升至逆范畴上的图 CwA。在适当条件下，Reedy 类型与同伦图构成子 CwA，且对这些结构封闭，从而为同伦类型理论的图模型提供了一个通用框架。

ABSTRACT

We define and develop the infrastructure of homotopical inverse diagrams in categories with attributes. Specifically, given a category with attributes $C$ and an ordered homotopical inverse category $I$, we construct the category with attributes $C^I$ of homotopical diagrams of shape $I$ in $C$ and Reedy types over these; and we show how various logical structure ($Π$-types, identity types, and so on) lifts from $C$ to $C^I$. This may be seen as providing a general class of diagram models of type theory. In a companion paper "The homotopy theory of type theories" (arXiv:1610.00037), we apply the present results to construct semi-model structures on categories of contextual categories.

研究动机与目标

• 开发一种使用具有属性的范畴（CwA）来构建同伦类型理论图模型的通用框架。
• 通过在逆范畴上使用 Reedy 图，解决类型理论中逻辑构造器并非严格函子性的问题。
• 表明关键类型理论结构（Π、Σ、同伦等价类型）可从基底 CwA 提升至逆范畴上的图 CwA。
• 在该框架内定义并分析同伦图——即在 I 中将特定等价映射为 C 中类型论等价的图——形成子 CwA $ C^I_{\text{h}} \subseteq C^I $。
• 建立图 CwA 继承逻辑结构的条件，特别是基于函数扩展性与等价性假设。

提出的方法

• 通过在逆范畴 $ I $ 上使用 Reedy 类型，定义 CwA $ C $ 中形状为 $ I $ 的图的范畴 $ C^I $。
• 构建 Reedy 极限与匹配对象，以处理图结构并实现逻辑运算的提升。
• 利用 Reedy 类型的基础设施，系统地将同伦等价类型、Π-类型、Σ-类型和单位类型从 $ C $ 提升至 $ C^I $。
• 将同伦图定义为将 $ I $ 中的特定等价映射为 $ C $ 中类型论等价的图，形成子 CwA $ C^I_{\text{h}} \subseteq C^I $。
• 在附加假设下（例如 $ I $ 中所有映射均为等价），证明 $ C^I_{\text{h}} $ 对逻辑结构封闭（如 Σ-类型、单位类型、Π-类型）。
• 分析由函子 $ u: J \to I $ 诱导的函子 $ C^I \to C^J $，并证明其在何种条件下为局部纤维化或局部等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用逆范畴上的 Reedy 图来在具有属性的范畴中构建类型理论的图模型？
• RQ2 在何种条件下，如 Π-类型和同伦等价类型等逻辑结构可从基底 CwA 提升至其在逆范畴上的图 CwA？
• RQ3 在何种条件下，同伦图的子 CwA 对逻辑结构封闭，特别是基于函数扩展性？
• RQ4 在何种条件下，由函子 $ u: J \to I $ 诱导的图函子 $ C^I \to C^J $ 为局部纤维化或局部等价？
• RQ5 该框架能否推广至伪张量图或理解范畴？若可，需进行哪些修改？

主要发现

• 当 $ I $ 为逆范畴时，CwA $ C $ 中形状为 $ I $ 的图范畴 $ C^I $，在配备 Reedy 类型后，构成一个 CwA。
• 若 $ C $ 具有同伦等价类型、Π-类型、Σ-类型或单位类型（Π-类型需函数扩展性），则 $ C^I $ 继承这些结构。
• 同伦图的子 CwA $ C^I_{\text{h}} $——即保持等价性的图——对同伦等价类型封闭，且在附加假设下对 Σ-类型、单位类型和 Π-类型也封闭。
• 当 $ I $ 中所有映射均为等价且 $ C $ 具有函数扩展性时，$ C^I_{\text{h}} $ 对 Π-类型封闭。
• 在函子 $ u: J \to I $ 满足适当条件时，诱导函子 $ C^I \to C^J $ 为局部纤维化或局部等价，如附录论文 [KL18] 所定义。
• 该构造为上下文范畴上的半模型结构提供了通用框架，如附录论文 arXiv:1610.00037 所应用。