[论文解读] Space-Valued Diagrams, Type-Theoretically (Extended Abstract)

Nicolai Kraus, Christian Sattler|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文提出了一种类型论框架，用于在各种指标范畴（包括单纯范畴）上定义空间值图——具体而言，是同伦一致图和Reedy纤维化图，使用高阶一致性公理。该框架表明，当适用时，这些构造与已知的Reedy纤维化图等价，并将该方法应用于通过为半单纯类型添加退化映射，构造任意有限层次的单纯类型。

ABSTRACT

Topologists are sometimes interested in space-valued diagrams over a given index category, but it is tricky to say what such a diagram even is if we look for a notion that is stable under equivalence. The same happens in (homotopy) type theory, where it is known only for special cases how one can define a type of type-valued diagrams over a given index category. We offer several constructions. We first show how to define homotopy coherent diagrams which come with all higher coherence laws explicitly, with two variants that come with assumption on the index category or on the type theory. Further, we present a construction of diagrams over certain Reedy categories. As an application, we add the degeneracies to the well-known construction of semisimplicial types, yielding a construction of simplicial types up to any given finite level. The current paper is only an extended abstract, and a full version is to follow. In the full paper, we will show that the different notions of diagrams are equivalent to each other and to the known notion of Reedy fibrant diagrams whenever the statement makes sense. In the current paper, we only sketch some core ideas of the proofs.

研究动机与目标

• 在同伦类型论中定义一种对等价稳定的类型值图的稳健概念，显式处理高阶一致性公理。
• 通过构造编码所有必要高阶同伦的相干图，解决类型论中等式类型引入结构而非公理的奠基性问题。
• 在适当条件下，证明不同图构造方式（同伦一致、Reedy纤维化、通过神经构造）的等价性。
• 将该框架应用于通过添加退化映射，将半单纯类型扩展为任意有限层次的单纯类型。
• 通过形式化原本因一致性复杂性而无法表达的图结构，为类型论中的内部范畴论提供基础。

提出的方法

• 使用指标范畴的神经构造来构建同伦一致图，其分量由有限的态射链索引，确保所有一致性公理被显式编码。
• 引入两种变体：一种假设指标范畴为逆范畴，另一种假设类型理论满足某些结构公理（例如，推广性、函数外延性）。
• 对单纯范畴的对偶的神经构造应用Grothendieck构造，将Δ^op上的图与标记Reedy范畴上的图关联起来。
• 应用Harpaz技巧，证明神经构造中冗余分量（例如恒等态射的序列）形成可缩对，从而消除多余的一致性数据。
• 证明度数≤n的子范畴上的极限构成一个等价塔，表明无限极限（H∞）与基类型H0等价。
• 证明在同伦一致图设定下，Reedy范畴构造中的非最小序列会相互抵消，从而与Reedy纤维化图等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在同伦类型论中定义一种对等价不变且显式处理所有高阶一致性公理的空间值图类型？
• RQ2 同伦一致图、Reedy纤维化图与在逆范畴或Reedy范畴上基于神经构造的图之间存在何种关系？
• RQ3 能否通过类型论方法，借助添加退化映射，实现从半单纯类型到单纯类型的构造？
• RQ4 神经构造中（例如恒等态射的序列）的冗余分量在图类型中在多大程度上贡献非平凡结构？
• RQ5 从完整同伦一致图类型到最小图类型的标准投影是否为等价？在何种条件下成立？

主要发现

• 在逆范畴I上，同伦一致图与更结构化的Reedy纤维化图等价，当指标范畴为Reedy或逆范畴时成立。
• 在终端范畴1上构造同伦一致图时，会得到一个无限分量塔，但其到基类型的自然投影是等价的。
• 对应于奇数和偶数长度恒等态射链的分量形成一个可缩对，类似于拓扑中的哑铃空间（dunce hat），确保一致性而不依赖UIP。
• 图塔的无限极限H∞与基类型H0等价，表明在恒等态射情况下，高阶一致性数据不会引入新信息。
• 在单纯范畴上，当标记被尊重时，Δ^op上的同伦一致图类型与Reedy纤维化图类型等价，验证了该构造的有效性。
• 该方法成功通过在Reedy范畴框架下添加退化映射，将半单纯类型扩展为任意有限层次的单纯类型。