[论文解读] The homotopy theory of type theories

Chris Kapulkin, Peter LeFanu Lumsdaine|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用 7

一句话总结

本文在具有同伦等价、Σ 和单位类型的（可选地包含 Π-类型）可延拓类型理论的范畴上建立了左半模型结构，为研究其高阶范畴结构提供了同伦理论框架。它构建了一个从该类型理论 ∞-范畴到结构化 quasi-范畴 ∞-范畴的 ∞-函子，从而实现了对‘可延拓类型理论是 ∞-范畴的内部语言’这一猜想的精确表述。

ABSTRACT

We construct a left semi-model structure on the category of intensional type theories (precisely, on $\mathrm{CxlCat_{Id,1,Σ(,Π_{ext})}}$). This presents an $\infty$-category of such type theories; we show moreover that there is an $\infty$-functor $\mathrm{Cl}_\infty$ from there to the $\infty$-category of suitably structured quasi-categories. This allows a precise formulation of the conjectures that intensional type theory gives internal languages for higher categories, and provides a framework and toolbox for further progress on these conjectures.

研究动机与目标

• 为‘可延拓类型理论是 ∞-范畴的内部语言’这一猜想提供一个精确的、同伦理论框架。
• 在具有同伦等价、Σ 和单位类型的（以及 Π-类型）上下文范畴的范畴上构建一个高阶范畴结构——具体而言，即左半模型结构。
• 从该类类型理论的 ∞-范畴到结构化 quasi-范畴的 ∞-范畴定义一个 ∞-函子。
• 通过提供一个可处理的、显式的模型结构，为内部语言猜想的进一步研究奠定基础。

提出的方法

• 使用上下文范畴（CwAs）作为类型理论的模型，独立于句法表达形式。
• 引入 CwA 中任意对象之间的等价性概念，从而在类型理论内部实现同伦推理。
• 构建给定 CwA 中的跨度等价 CwA，作为构建 CwA 模型之间等价性的工具。
• 通过等价性的 quasi-范畴，定义上下文范畴范畴中函子之间的右同伦。
• 应用纤维范畴和弱因子化系统理论，在类型理论的范畴上构造一个左半模型结构。
• 应用一个判定准则（引理 6.7），验证弱等价、纤维化和胞状映射的类满足左半模型结构的公理。

实验结果

研究问题

• RQ1 ‘可延拓类型理论是 ∞-范畴的内部语言’这一猜想，是否能在高阶范畴框架中被精确表述？
• RQ2 具有同伦等价、Σ 和单位类型的（以及 Π-类型）可延拓类型理论的范畴，是否具有反映其高阶范畴本质的同伦理论结构？
• RQ3 是否存在一个行为良好的 ∞-函子，从该类类型理论的 ∞-范畴映射到结构化 quasi-范畴的 ∞-范畴？
• RQ4 能否在具有指定类型构造子的上下文范畴范畴上构造一个左半模型结构，从而为底层 ∞-范畴提供一个可处理的表示？

主要发现

• 在具有同伦等价、Σ 和单位类型的（以及 Π-类型）上下文范畴的范畴上构造了左半模型结构，为类型理论提供了高阶范畴框架。
• 该模型结构中的弱等价、纤维化和胞状映射满足左半模型结构的公理，且因子化系统被限制在共纤维化定义域上。
• 从类型理论的 ∞-范畴到结构化 quasi-范畴的 ∞-范畴的 ∞-函子 Cl∞ 是良好定义的，从而实现了对内部语言猜想的精确表述。
• 该构造依赖于 CwA 中对象之间等价性的新概念，以及 CwA 中的跨度等价，这些是构建和分析类型理论之间等价性的工具。
• 本文证明了：任何与等价映射右同伦的映射本身也是等价映射；且在共纤维化对象之间的阿诺德映射是弱等价。
• 类型理论范畴中的共纤维化对象构成一个共纤维化范畴，表明其为同伦分析提供了一个行为良好的子范畴。