[论文解读] Homotopy Batalin-Vilkovisky algebras

Imma Gálvez-Carrillo, Andrew Tonks+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 45被引用 17

一句话总结

该论文通过推广的 operad Koszul 对偶理论（适用于具有二次与线性关系的 operad），构建了 Batalin–Vilkovisky（BV）代数所对应的 operad 的显式可约分解。该分解提供了一类同伦 BV-代数结构，可提升同调上的 BV-代数结构，从而支持形变理论、障碍理论，并验证了循环 Deligne 猜想。

ABSTRACT

This paper provides an explicit cofibrant resolution of the operad encoding Batalin-Vilkovisky algebras. Thus it defines the notion of homotopy Batalin-Vilkovisky algebras with the required homotopy properties. To define this resolution we extend the theory of Koszul duality to operads and properads that are defind by quadratic and linear relations. The operad encoding Batalin-Vilkovisky algebras is shown to be Koszul in this sense. This allows us to prove a Poincare-Birkhoff-Witt Theorem for such an operad and to give an explicit small quasi-free resolution for it. This particular resolution enables us to describe the deformation theory and homotopy theory of BV-algebras and of homotopy BV-algebras. We show that any topological conformal field theory carries a homotopy BV-algebra structure which lifts the BV-algebra structure on homology. The same result is proved for the singular chain complex of the double loop space of a topological space endowed with an action of the circle. We also prove the cyclic Deligne conjecture with this cofibrant resolution of the operad BV. We develop the general obstruction theory for algebras over the Koszul resolution of a properad and apply it to extend a conjecture of Lian-Zuckerman, showing that certain vertex algebras have an explicit homotopy BV-algebra structure.

研究动机与目标

• 为 Batalin–Vilkovisky 代数发展同伦理论，这类代数在数学物理与拓扑学中具有基础性作用，但此前缺乏可约分解。
• 将 Koszul 对偶理论推广至由二次与线性关系定义的 operad，以实现对 BV operad 的分解。
• 显式构造 BV operad 的小 quasi-free 可约分解，从而定义具有完整同伦性质的同伦 BV-代数。
• 证明任何具有 $ S^1 $-作用的拓扑共形场论或双重循环空间，均携带可提升其同调级别 BV 结构的同伦 BV-代数结构。
• 利用该分解建立同伦 BV-代数的形变与障碍理论，并验证循环 Deligne 猜想。

提出的方法

• 将非齐次 Koszul 对偶理论推广至具有二次与线性关系的 operad，证明在广义意义下 BV operad 是 Koszul 的。
• 作为带相对分次 $[n]$ 的分次 coproperad，构造 Koszul 对偶 coproperad $\mathscr{P}^{\scriptstyle\text{\rm!`}}$，以追踪 $sV_1$ 生成元的数量。
• 通过可约分解 $\mathscr{BV}^\text{!`}$ 定义同伦 BV-代数，给出该结构的四种等价定义。
• 利用带相对分次的卷积 dg 李代数 $\mathfrak{g} = \mathrm{Hom}_{\mathbb{S}}(\mathscr{BV}^{\scriptstyle\text{\rm!`}}, \mathrm{End}_A)$ 描述形变与障碍理论。
• 在 $\mathfrak{g}$ 中应用 Maurer–Cartan 方程，其分解形式为 $\gamma = \gamma_0 + \gamma_1 + \cdots$，其中 $\gamma_0$ 是一个同伦 $\mathscr{P}_0$-代数结构。
• 利用带框架的小圆盘 operad 的形式性以及分解的可约性，证明任何具有 $S^1$-作用的拓扑共形场论或双重循环空间均携带同伦 BV-代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为编码 Batalin–Vilkovisky 代数的 operad 显式构造一个可约分解？
• RQ2 针对具有二次与线性关系的 operad，推广的 Koszul 对偶理论是否允许 Poincaré–Birkhoff–Witt 定理成立并实现小分解？
• RQ3 能否将拓扑共形场论与双重循环空间中同调上的同伦 BV-代数结构提升至链复形？
• RQ4 当使用 BV operad 的可约分解时，循环 Deligne 猜想是否成立？
• RQ5 同伦 BV-代数的形变与障碍理论是什么？其能否通过卷积李代数来描述？

主要发现

• 证明了编码 Batalin–Vilkovisky 代数的 operad $\mathscr{BV}$ 在具有二次与线性关系的广义 Koszul 意义下是 Koszul 的，从而允许构造可约分解。
• 显式构造了 $\mathscr{BV}$ 的小 quasi-free 可约分解，为具有完整同伦性质的同伦 BV-代数提供了概念性定义。
• Poincaré–Birkhoff–Witt 定理对 $\mathscr{BV}$ operad 成立，确认了其普遍包络代数的结构性质。
• 任何拓扑共形场论均携带可提升其同调上 BV-代数结构的同伦 BV-代数结构。
• 具有 $S^1$-作用的拓扑空间的双重循环空间携带可提升其同调上 BV-代数结构的同伦 BV-代数结构。
• 利用可约分解证明了循环 Deligne 猜想，表明 Frobenius 代数的 Hochschild 上链复形具有同伦 BV-代数结构。