[论文解读] Homotopy Gerstenhaber Structure on Deformation Complex of a Morphism

Yuri I. Manin|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 2

一句话总结

该论文通过将一个B∞-代数扩展为一个结合代数，建立了在结合代数之间态射的形变复形上存在G∞-结构。它构造了B∞-代数在结合代数和B∞-代数上的作用及其扩展，证明由此得到的G∞-代数与相应图代数形变复形上的G∞-代数之间存在拟同构，并描述了该态射的Hochschild复形上的L∞-结构。

ABSTRACT

G∞ -structure is shown to exist on the deformation complex of a morphism of associative algebras. The main step of the construction is extension of a B∞ -algebra by an associative algebra. Actions of B∞ -algebras on associative and B∞ -algebras are analyzed, extensions of B∞ -algebras by associative and B∞ -algebras, that they act upon, are constructed. The resulting G∞ -algebra on the deformation complex of a morphism is shown to be quasi-isomorphic to the G∞ -algebra on deformation complex of the corresponding diagram algebra. L∞ -structure is described on the Hochschild complex of a morphism.

研究动机与目标

• 在结合代数之间态射的形变复形上构造G∞-结构。
• 分析B∞-代数在结合代数和B∞-代数上的作用。
• 发展B∞-代数对它们所作用的结合代数和B∞-代数的扩展。
• 在态射的形变复形上的G∞-代数与图代数复形上的G∞-代数之间建立拟同构。
• 描述该态射的Hochschild复形上的L∞-结构。

提出的方法

• 通过将结合代数扩展B∞-代数来构建形变复形的结构。
• 分析B∞-代数在结合代数和B∞-代数上的作用，以实现一致的代数扩展。
• 构造B∞-代数对它们所作用的结合代数和B∞-代数的扩展，保持代数的一致性。
• 使用拟同构将态射的形变复形上的G∞-代数与图代数复形上的G∞-代数联系起来。
• 通过高阶同伦运算描述该态射的Hochschild复形上的L∞-结构。
• 应用同伦代数技术，确保G∞-结构与形变理论的兼容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在结合代数之间态射的形变复形上是否存在G∞-结构？
• RQ2 在形变理论的背景下，B∞-代数如何作用于结合代数和B∞-代数？
• RQ3 B∞-代数能否以一致的方式被其作用的结合代数和B∞-代数所扩展？
• RQ4 态射的形变复形上的G∞-代数是否与图代数复形上的G∞-代数拟同构？
• RQ5 该态射的Hochschild复形上会涌现出何种L∞-结构？

主要发现

• 通过将B∞-代数扩展为结合代数，成功在结合代数之间态射的形变复形上构造了G∞-结构。
• 系统地分析了B∞-代数在结合代数和B∞-代数上的作用，并用于定义一致的代数扩展。
• 明确构造了B∞-代数对结合代数和B∞-代数的扩展，保持了所需的同伦理论结构。
• 证明了态射的形变复形上的G∞-代数与相应图代数形变复形上的G∞-代数之间存在拟同构。
• 描述了该态射的Hochschild复形上的L∞-结构，将其与形变理论框架中的高阶同伦运算联系起来。