[论文解读] Homotopy theory of monoids and derived localization

Joe Chuang, Julian J. Holstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文建立了在单幺半群代数上的巴构造与单幺半群的神经复形的导出局部化的归一化链余代数之间的导出等价性，通过离散幺半群为连通空间的同伦范畴提供了一种新的代数模型。主要贡献在于建立了缩减单纯集的∞-范畴与以导出局部化幺半群代数的拟同构定义弱等价的离散幺半群∞-范畴之间的等价关系，从而对连通同伦类型给出了纯粹的代数刻画。

ABSTRACT

We use derived localization of the bar and nerve constructions to provide simple proofs of a number of results in algebraic topology. This includes a recent generalization of Adams' cobar-construction to the non-simply connected case, and a new model for the homotopy theory of connected topological spaces using an infinity category of discrete monoids.

研究动机与目标

• 通过离散幺半群为连通拓扑空间的同伦范畴提供一个纯粹的代数模型。
• 阐明代数拓扑中导出局部化、巴构造与余巴构造之间的关系。
• 简化并推广已知结果，如亚当斯的余巴构造以及赫斯与唐克斯的扩展余巴构造。
• 确立缩减单纯集的弱等价可通过其链余代数的弱等价来检测。
• 证明∞-局部系统在单纯集上的导出范畴可全忠实嵌入到该单纯集的链余代数的余导出范畴中。

提出的方法

• 使用微分分次代数的导出局部化以同伦不变方式反转元素。
• 对幺半群代数的导出局部化应用巴构造，得到一个微分分次余代数。
• 将幺半群的神经复形构造为∞-范畴，并在一组1-态射上进行局部化。
• 通过过滤拟同构的之字形比较所得的微分分次余代数。
• 利用巴-余巴伴随关系及过滤拟同构的性质，关联拓扑构造与代数构造。
• 通过导出局部化幺半群代数的拟同构来定义离散幺半群范畴中的弱等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 连通空间的同伦理论能否被离散幺半群上的代数结构完全捕捉？
• RQ2 在非单连通情形下，导出局部化如何统一巴构造与余巴构造？
• RQ3 单纯集的链余代数与该单纯集链余代数上的余巴构造之间的确切关系是什么？
• RQ4 ∞-局部系统在单纯集上的导出范畴是否为该单纯集链余代数的余导出范畴的全子范畴？
• RQ5 缩减单纯集的弱等价能否通过其幺半群代数进行代数检测？

主要发现

• 微分分次余代数 $ℓ\mathrm{B}\mathrm{L}_{W}\mathrm{C}(M)$ 与 $ℓ\mathrm{C}\mathrm{L}_{W}\mathrm{N}(M)$ 通过过滤拟同构的之字形路径弱等价。
• 对任意缩减单纯集 $K$，若 $K$ 是群作用的，则 $\mathrm{C}\mathrm{G}(K)$ 与 $\Omega\mathrm{C}(K)$ 之间存在弱等价。
• 对任意缩减单纯集 $K$，$\mathrm{C}\mathrm{G}(K)$ 同构于 $\Omega\mathrm{C}(K)$ 的局部化，推广了扩展余巴构造。
• 余导出范畴 $\operatorname{D^{co}}(\mathrm{C}(K))$ 包含 $K$ 上∞-局部系统的导出范畴作为全子范畴。
• 当 $K$ 为群作用时，余导出范畴 $\operatorname{D^{co}}(\mathrm{C}(K))$ 同构于 $K$ 上∞-局部系统的导出范畴。
• 以导出局部化幺半群代数的拟同构定义弱等价的离散幺半群相对范畴，与以奎伦弱等价定义的缩减单纯集相对范畴等价。