[论文解读] Hopf algebras and finite tensor categories in conformal field theory

Jürgen Fuchs, Christoph Schweigert|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 55被引用 6

一句话总结

本文使用有限张量范畴与霍普夫代数，为有理与非有理共形场论（CFT）构建了一个范畴框架。通过张量范畴中的内霍普夫代数，将韦尔林德公式推广至非半单情形，表明这些结构编码了关联函数，并产生三维流形的不变量及映射类群表示。

ABSTRACT

In conformal field theory the understanding of correlation functions can be divided into two distinct conceptual levels: The analytic properties of the correlators endow the representation categories of the underlying chiral symmetry algebras with additional structure, which in suitable cases is the one of a finite tensor category. The problem of specifying the correlators can then be encoded in algebraic structure internal to those categories. After reviewing results for conformal field theories for which these representation categories are semisimple, we explain what is known about representation categories of chiral symmetry algebras that are not semisimple. We focus on generalizations of the Verlinde formula, for which certain finite-dimensional complex Hopf algebras are used as a tool, and on the structural importance of the presence of a Hopf algebra internal to finite tensor categories.

研究动机与目标

• 将共形场论中关联函数的代数理解从半单模张量范畴推广至更广范围。
• 通过引入非必然半单的有限张量范畴，解决非有理CFT的挑战。
• 建立一个范畴框架，其中关联函数通过张量范畴内部的弗罗贝尼乌斯代数与霍普夫代数结构编码。
• 利用有限维霍普夫代数及其希格曼理想，将韦尔林德公式推广至非半单情形。
• 探讨作为刚性函子的余端的范畴霍普夫代数在生成三维流形不变量与映射类群表示中的作用。

提出的方法

• 使用有限张量范畴作为CFT中手征数据的范畴框架，推广半单模张量范畴。
• 应用辫子范畴的图解演算来表示态射，包括辫子、对偶与扭，使用S³中的缎带。
• 将范畴霍普夫代数定义为与刚性相关的函子的余端，推广模张量范畴的概念。
• 将张量范畴内部的弗罗贝尼乌斯代数作为关键输入，通过三维拓扑量子场论构造关联函数。
• 利用具有积分与余积分的霍普夫代数中弗罗贝尼乌斯映射的可逆性，证明该映射及其逆互为逆映射。
• 通过范畴霍普夫代数结构，推导出可分解辫子霍普夫代数的希格曼理想的类韦尔林德公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地使用有限张量范畴内部的代数结构来编码非有理CFT中的关联函数？
• RQ2 在非半单有限张量范畴中，韦尔林德公式的何种推广适用，且其与霍普夫代数结构有何关联？
• RQ3 作为与刚性相关的函子的余端定义的范畴霍普夫代数，在生成CFT中的拓扑不变量中起何作用？
• RQ4 为何相同的范畴霍普夫代数能产生三维流形不变量与映射类群表示，尽管二者并不完全契合？
• RQ5 有限维霍普夫代数如何通过积分与余积分，为将韦尔林德公式推广至半单情形之外提供工具？

主要发现

• 当反极（antipode）可逆且积分与余积分的复合为恒等映射时，弗罗贝尼乌斯映射Ψ及其逆Ψ⁻¹互为逆映射。
• 在具有可逆反极与归一化积分的辫子范畴中的霍普夫代数H满足Ψ⁻¹ ◦ Ψ = id_H与Ψ ◦ Ψ⁻¹ = id_H，从而证明其弗罗贝尼乌斯性质。
• 霍普夫代数H自然成为一个弗罗贝尼乌斯代数，其弗罗贝尼乌斯余乘法Δ_F通过积分与反极定义，弗罗贝尼乌斯余泛函ε_F = λ。
• 作为刚性函子余端定义的范畴霍普夫代数，可生成三维流形不变量及映射类群表示。
• 推导出可分解辫子霍普夫代数的希格曼理想的类韦尔林德公式，将经典韦尔林德公式推广至非半单情形。
• 通过内部弗罗贝尼乌斯代数与三维拓扑量子场论，将有理CFT中关联函数的构造推广至非有理模型，即使范畴非半单亦成立。