[论文解读] Hopf modules for autonomous pseudomonoids and the monoidal centre

Ignacio López Franco|ArXiv.org|Oct 20, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文将经典霍普夫模理论与德林费 尔德双代数推广至张量双 2-范畴中的自主伪单幺半群。证明了映射伪单幺半群存在霍普夫模构造当且仅当其为左自主，且表明此类伪单幺半群的弱中心可作为艾伦伯格-莫尔构造实现，当伪单幺半群同时为右自主时，其中心与德林费 尔德双代数同构。

ABSTRACT

In this work we develop some aspects of the theory of Hopf algebras to the context of autonomous map pseudomonoids. We concentrate in the Hopf modules and the Centre or Drinfel'd double. If $A$ is a map pseudomonoid in a monoidal bicategory \M, the analogue of the category of Hopf modules for $A$ is an Eilenberg-Moore construction for a certain monad in $\mathbf{Hom}(\M^{\mathrm{op}},\mathbf{Cat})$. We study the existence of the internalisation of this notion, called the Hopf module construction, by extending the completion under Eilenberg-Moore objects of a 2-category to a endo-homomorphism of tricategories on $\mathbf{Bicat}$. Our main result is the equivalence between the existence of a left dualization for $A$ ({\em i.e.}, $A$ is left autonomous) and the validity of an analogue of the structure theorem of Hopf modules. In this case the Hopf module construction for $A$ always exists. We use these results to study the lax centre of a left autonomous map pseudomonoid. We show that the lax centre is the Eilenberg-Moore construction for a certain monad on $A$ (one existing if the other does). If $A$ is also right autonomous, then the lax centre equals the centre. We look at the examples of the bicategories of \V-modules and of comodules in \V, and obtain the Drinfel'd double of a coquasi-Hopf algebra $H$ as the centre of $H$.

研究动机与目标

• 将霍普夫模与德林费 尔德双代数的理论从霍普夫代数推广至张量双 2-范畴中的自主伪单幺半群更广泛的情境。
• 通过表明左自主性（而非对极元）刻画霍普夫模的结构定理，阐明对偶化与对极元之间的概念角色差异。
• 利用艾伦伯格-莫尔构造建立伪单幺半群弱中心的范畴框架，避免使用中间的叶特-德林费 尔德模。
• 证明有限维余拟霍普夫代数的德林费 尔德双代数可作为在适当范畴上的余模双 2-范畴中伪单幺半群的中心出现。

提出的方法

• 在张量双 2-范畴 $\mathscr{M}$ 中，将映射伪单幺半群 $A$ 的霍普夫模定义为 $\mathbf{Hom}(\mathscr{M}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Cat})$ 中某个模范畴的艾伦伯格-莫尔构造。
• 将霍普夫模构造作为该艾伦伯格-莫尔对象的内部化，要求模范畴在 $[A, A]$ 上可表示。
• 通过艾伦伯格-莫尔对象的完备化，将 2-范畴构造扩展为 $\mathbf{Bicat}$ 上的三范畴同态，从而研究其存在性条件。
• 证明控制霍普夫模构造的模范畴是余模范畴，使得当 $\mathscr{M}$ 为右闭或右自主时，该结构可被内部化。
• 将左自主映射伪单幺半群的弱中心表征为 $A$ 上某个模范畴的艾伦伯格-莫尔构造，并证明当 $A$ 同时为右自主时，该构造与中心重合。
• 将该框架应用于双 2-范畴 $\mathscr{V}\text{-}\mathbf{Mod}$ 与 $\mathbf{Comod}(\mathscr{V})$，在 $H$ 的余模双 2-范畴中恢复出余拟霍普夫代数的德林费 尔德双代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在张量双 2-范畴 $\mathscr{M}$ 中，映射伪单幺半群 $A$ 的霍普夫模构造在何种条件下存在？
• RQ2 对 $A$ 的左对偶化存在性与霍普夫模结构定理的有效性之间有何关系？
• RQ3 左自主映射伪单幺半群的弱中心能否被表征为艾伦伯格-莫尔构造？
• RQ4 若映射伪单幺半群同时为左与右自主，其中心是否与该伪单幺半群的德林费 尔德双代数同构？
• RQ5 在 $\mathbf{Comod}(\mathbf{Vect})$ 中，余拟霍普夫代数的中心与其德林费 尔德双代数有何关系？

主要发现

• 映射伪单幺半群 $A$ 为左自主当且仅当霍普夫模定理对 $A$ 成立，即从右 $A$-余模到 $A$-霍普夫模的典范函子是等价。
• 映射伪单幺半群 $A$ 的霍普夫模构造存在当且仅当 $A$ 为左自主，且此时构造的物体部分与 $A$ 同构。
• 左自主映射伪单幺半群的弱中心同构于 $A$ 上某个模范畴的艾伦伯格-莫尔对象，且该构造的存在性与霍普夫模构造的存在性完全一致。
• 当 $A$ 同时为右自主时，弱中心与 $A$ 的中心重合，且中心与 $A$ 的德林费 尔德双代数在张量意义下同构。
• 对于有限维余拟霍普夫代数 $H$，德林费 尔德双代数 $D(H)$ 同构于余拟双代数 $H^{\tilde{s}^*}$，即 $H$ 在 $\mathbf{Comod}(\mathbf{Vect})$ 中的中心，通过余模范畴的等价实现。
• 2-函子 $\mathrm{Comod}_f: \mathbf{Comon}(\mathbf{Vect}) \to \mathbf{Vect}_f\text{-}\mathrm{Act}/\mathbf{Vect}_f$ 是双全忠实的，使得 $H^{\tilde{s}^*}$ 与 $D(H)$ 可作为 $\mathbf{Comod}(\mathbf{Vect})$ 中的同构余代数被重构。