[论文解读] How Hard Is Bribery in Elections?

Piotr Faliszewski, Edith Hemaspaandra+1 more|ArXiv.org|Aug 19, 2006

Game Theory and Voting Systems参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文研究了选举中贿赂的计算复杂性，其中外部行为者试图通过改变选民偏好使心仪候选人获胜。本文为计分机制中的加权选民贿赂建立了二分定理，基于一个简单且可高效计算的条件，将每种情况分类为多项式时间可解或NP完全。

ABSTRACT

We study the complexity of influencing elections through bribery: How computationally complex is it for an external actor to determine whether by a certain amount of bribing voters a specified candidate can be made the election's winner? We study this problem for election systems as varied as scoring protocols and Dodgson voting, and in a variety of settings regarding homogeneous-vs.-nonhomogeneous electorate bribability, bounded-size-vs.-arbitrary-sized candidate sets, weighted-vs.-unweighted voters, and succinct-vs.-nonsuccinct input specification. We obtain both polynomial-time bribery algorithms and proofs of the intractability of bribery, and indeed our results show that the complexity of bribery is extremely sensitive to the setting. For example, we find settings in which bribery is NP-complete but manipulation (by voters) is in P, and we find settings in which bribing weighted voters is NP-complete but bribing voters with individual bribe thresholds is in P. For the broad class of elections (including plurality, Borda, k-approval, and veto) known as scoring protocols, we prove a dichotomy result for bribery of weighted voters: We find a simple-to-evaluate condition that classifies every case as either NP-complete or in P.

研究动机与目标

• 分析通过贿赂选民影响选举结果的计算复杂性，这是一种与控制或操纵不同的选举操纵形式。
• 确定在何种条件下贿赂在计算上是可 tractable（P类）的，还是不可 tractable（NP完全）的，尤其在各种投票制度下。
• 为计分机制中的加权选民贿赂建立二分定理，识别出精确区分可 tractable 与不可 tractable 情况的条件。
• 将贿赂的复杂性与操纵和控制的复杂性进行比较，揭示出贿赂为NP完全而操纵为P类的情形，以及反之亦然的情形。
• 探讨结构参数（如选民权重、贿赂价格和候选人集合大小）对贿赂问题复杂性的影响。

提出的方法

• 将贿赂问题形式化为决策问题：给定一个选举实例、一个心仪候选人、一个贿赂预算以及可贿赂选民数量的上限，判断是否能使心仪候选人成为胜者。
• 使用整数线性规划（ILP）建模贿赂场景，特别针对Kemeny选举，其中变量表示从一种偏好顺序贿赂到另一种的选民数量。
• 应用Lenstra算法在多项式时间内求解每个ILP实例，前提是偏好顺序的数量为常数（即候选人集合大小固定）。
• 为每个可能的最终排名（其中心仪候选人排名第一）构建单独的ILP，确保此类排名与被贿赂选民的偏好具有最大一致性。
• 通过布尔变量对所有可能的最终排名进行析取，以编码最终结果必须为Kemeny一致排名的要求。
• 证明当候选人数量固定时，Kemeny选举中的贿赂问题可在多项式时间内求解，原因在于排名空间的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些投票制度中，贿赂问题在计算上是可 tractable（P类）的，而在哪些中是NP完全的？
• RQ2 贿赂的复杂性如何随选民权重、贿赂价格和候选人集合大小而变化？
• RQ3 能否为计分机制中的加权选民贿赂建立二分定理，将每种情况分类为P类或NP完全？
• RQ4 是否存在贿赂为NP完全但操纵为P类的情形，或反之？
• RQ5 选举制度的哪些结构特征（例如对指数级大空间的量化）会使贿赂在计算上变得困难？

主要发现

• 对于候选人数量固定的Kemeny选举，可通过常数个整数线性规划求解贿赂问题，每个ILP实例均可通过Lenstra算法在多项式时间内求解。
• 本文为计分机制中的加权选民贿赂建立了二分定理：一个简单且可高效计算的条件可确定问题是否属于P类或NP完全类。
• 存在某些情形下贿赂为NP完全，但操纵为P类，表明贿赂与操纵的复杂性并非总是一致。
• 相比之下，也存在某些情形下，贿赂加权选民为NP完全，但贿赂具有个体贿赂阈值的选民为P类，凸显了复杂性对输入结构的敏感性。
• 贿赂的复杂性对参数（如选民权重、贿赂价格和候选人集合大小）极为敏感，小权重或低价格可使原本NP完全的问题变为多项式时间可解。
• 本文表明，NP完全性并不总意味着实际不可行，因为小权重或低价格可使原本NP完全的问题变得可 tractable。