[论文解读] Hypergeometric functions and mirror symmetry in toric varieties

R. Paul Horja|ArXiv.org|Dec 14, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 47被引用 104

一句话总结

本文建立了卡拉比-丘完全交在 toric 簇上的上同调的单值作用与它们镜像的凝聚层导出范畴上的傅里叶-穆凯伊函子之间的几何对应。利用盖尔范德-卡普兰诺夫-泽列维斯基超几何系统和镜像对称机制，它在 $\mathbf{D}(W \times W)$ 中显式构造了核，其诱导的作用与 $M$ 的复结构模空间中判别(locus)各分量周围的单值作用相匹配，从而在 toric 情形下实现了科茨维奇关于弗克亚与导出范畴自同构群识别的提议。

ABSTRACT

We study aspects related to Kontsevich's homological mirror symmetry conjecture in the case of Calabi-Yau complete intersections in toric varieties. In a 1996 lecture at Rutgers University, Kontsevich indicated how his proposal implies that the groups of automorphisms of the two types of categories involved in the homological mirror symmetry conjecture should also be identified. Our main results provide an explicit geometric construction of the correspondence between the automorphisms of the two types of categories.

研究动机与目标

• 为了在镜像对称下实现科茨维奇的提议，即弗克亚范畴与导出范畴的自同构群应被识别。
• 在 $\mathbf{D}(W \times W)$ 中构造几何核，使其诱导的上同调作用与 $H^*(M, \mathbb{C})$ 上的单值作用相匹配。
• 为 1 和 2 参数情形的 toric 卡拉比-丘完全交，提供辛单值性与代数自同构之间的完整词典。
• 在镜像模空间中的相变与凝聚层导出范畴上的傅里叶-穆凯伊函子作用之间建立对应关系。

提出的方法

• 使用盖尔范德-卡普兰诺夫-泽列维斯基 (GKZ) 超几何系统来描述镜像卡拉比-丘流形 $M$ 的周期。
• 应用超几何函数与围道积分的机制，通过 GKZ 系统的解来计算上同调上的单值作用。
• 在 $\mathbf{D}(W \times W)$ 中显式构造与次级多面体边相关的复形 $\mathcal{E}^\bullet(F)$，其对应于相变。
• 依赖傅里叶-穆凯伊变换形式 $\Phi_{\mathcal{E}^\bullet}(\cdot) = \mathbf{R}p_{2*}(\mathcal{E}^\bullet \overset{\mathbf{L}}{\otimes} p_1^*(\cdot))$ 来定义 $\mathbf{D}(W)$ 的自同构。
• 通过围道积分与留数计算，将超几何级数 $\Psi(z)$ 的解析延拓与单值作用相匹配。
• 利用 $\Phi^\mathcal{C}_\lambda(z)$ 与 $\Psi(z)$ 系列之间的对偶性，后者通过含 $1 - e^{2\pi i \cdot}$ 的因子关联，从而关联上同调作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过镜像 $W$ 上导出范畴的自同构几何地实现卡拉比-丘流形 $M$ 上同调的单值作用？
• RQ2 复结构模空间中的环路与 $\mathbf{D}(W)$ 上傅里叶-穆凯伊函子之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 能否通过显式核构造在 toric 情形下识别弗克亚与导出范畴的自同构群？
• RQ4 镜像模空间中的相变如何对应于 $W$ 上凝聚层导出范畴的代数自同构？
• RQ5 超几何系统在编码辛自同构与代数自同构之间镜像对称对应关系中起什么作用？

主要发现

• 在 $M$ 的复结构模空间中，围绕判别(locus)各分量的环路所诱导的 $H^*(M, \mathbb{C})$ 上的单值作用，可通过镜像 $W$ 上傅里叶-穆凯伊函子 $\Phi_{\mathcal{E}^\bullet(F)}$ 的作用几何实现。
• 对于对应于镜像 $W$ 的光滑相的次级多面体的每条边 $F$，核 $\mathcal{E}^\bullet(F)$ 诱导出 $H^*(W, \mathbb{C})$ 的自同构，其与 $H^*(M, \mathbb{C})$ 上的单值作用相匹配。
• 傅里叶-穆凯伊函子的上同调作用通过包含 $1 - e^{-2\pi i \cdot}$ 项乘积的围道积分表达式计算，与超几何解的单值公式相匹配。
• 与 $\Phi^\mathcal{C}_\lambda(z)$ 通过含 $1 - e^{2\pi i(d_j\mu - \mu_j')} / 2\pi i$ 的因子关联的级数 $\Psi(z)$ 编码了 $M$ 的所有周期，其单值性通过解析延拓计算。
• 该构造在 toric 卡拉比-丘完全交的 1 参数情形及选定的 2 参数情形中，提供了辛单值性与代数自同构之间的完整词典。
• 该结果通过显式构造超几何系统与 toric 几何之间的对应关系，实现了科茨维奇 1996 年的提议。