[论文解读] Improved Approximation Algorithms for Individually Fair Clustering

Ali Vakilian, Mustafa Yalçiner|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2021

Facility Location and Emergency Management参考文献 35被引用 4

一句话总结

本论文提出了针对 ℓp-范数成本下个体公平聚类的改进双准则近似算法，对一般 p > 1 实现了 (16^p + ε, 3)-近似，对 k-中位数（p=1）实现了 (7.081 + ε, 3)-近似。该方法扩展了带拟阵约束的设施选址问题，将公平聚类问题转化为群体公平问题，显著优于先前的 (p^O(p), 7) 保证。

ABSTRACT

We consider the $k$-clustering problem with $\ell_p$-norm cost, which includes $k$-median, $k$-means and $k$-center, under an individual notion of fairness proposed by Jung et al. [2020]: given a set of points $P$ of size $n$, a set of $k$ centers induces a fair clustering if every point in $P$ has a center among its $n/k$ closest neighbors. Mahabadi and Vakilian [2020] presented a $(p^{O(p)},7)$-bicriteria approximation for fair clustering with $\ell_p$-norm cost: every point finds a center within distance at most $7$ times its distance to its $(n/k)$-th closest neighbor and the $\ell_p$-norm cost of the solution is at most $p^{O(p)}$ times the cost of an optimal fair solution. In this work, for any $\varepsilon>0$, we present an improved $(16^p +\varepsilon,3)$-bicriteria for this problem. Moreover, for $p=1$ ($k$-median) and $p=\infty$ ($k$-center), we present improved cost-approximation factors $7.081+\varepsilon$ and $3+\varepsilon$ respectively. To achieve our guarantees, we extend the framework of [Charikar et al., 2002, Swamy, 2016] and devise a $16^p$-approximation algorithm for the facility location with $\ell_p$-norm cost under matroid constraint which might be of an independent interest. Besides, our approach suggests a reduction from our individually fair clustering to a clustering with a group fairness requirement proposed by Kleindessner et al. [2019], which is essentially the median matroid problem [Krishnaswamy et al., 2011].

研究动机与目标

• 为解决在 ℓp-范数成本函数下个体公平聚类的高效近似算法方面的空白。
• 改进先前针对 ℓp 成本下公平 k-聚类的 (p^O(p), 7)-双准则近似。
• 实现更优的公平性与成本近似因子，尤其针对 k-中位数与 k-中心变体。
• 开发一种带拟阵约束的 ℓp-成本设施选址新算法，该结果本身具有独立兴趣。
• 通过中位数拟阵问题，建立从个体公平聚类到群体公平聚类的归约。

提出的方法

• 将 Charikar 等人（2002）与 Swamy（2016）的设施选址框架扩展至处理带拟阵约束的 ℓp-成本。
• 提出一种针对带 ℓp-成本的拟阵约束设施选址问题的 16^p-近似算法，该算法是主结果的核心。
• 通过关键区域分解对点集进行划分，按其 (n/k)-近邻距离对点进行分组。
• 构建一个变换后的实例 P'，在关键区域中复制点，并应用划分拟阵约束以控制中心分布。
• 在变换后的实例上应用中心划分算法，计算出既保持公平性又满足成本边界的解。
• 通过中位数拟阵问题，将个体公平聚类问题归约为群体公平聚类问题，从而可利用现有近似技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在个体公平 ℓp-聚类上实现优于先前 (p^O(p), 7) 保证的更优公平性与成本近似因子？
• RQ2 能否为 k-中位数与 k-中心在个体公平性下设计出常数因子成本近似？
• RQ3 带 ℓp-成本的拟阵约束设施选址问题能否实现 16^p 因子内的近似？
• RQ4 通过中位数拟阵问题将个体公平聚类归约为群体公平聚类，是否能带来更优的近似？
• RQ5 能否将公平性的双准则近似因子从 7 降低至 3，同时保持常数成本近似？

主要发现

• 本论文在 ℓp-成本下实现了 α-公平 k-聚类的 (16^p + ε, 3)-双准则近似，优于先前的 (p^O(p), 7) 保证。
• 对于 k-中位数（p=1），算法实现了 (7.081 + ε, 3)-双准则近似，显著优于先前的 (84, 7) 结果。
• 对于 k-中心（p=∞），算法实现了 (3 + ε, 3)-双准则近似，优于先前的 (O(log n), 7) 边界。
• 提出了一种新颖的 16^p-近似算法，用于带 ℓp-成本的拟阵约束设施选址问题，该结果本身具有独立兴趣。
• 通过中位数拟阵问题的归约，使得可利用现有近似技术来获得更优的公平性与成本边界。
• 成本近似因子被限制在 β + ε 范围内，其中 β 是底层设施选址算法的近似比，ε 允许任意小的加法误差。