[论文解读] Improved Distributed Steiner Forest Construction

Christoph Lenzen, Boaz Patt-Shamir|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 11被引用 4

一句话总结

本论文在 congest 模型中提出了 Steiner Forest 问题的改进确定性与随机化分布式算法。其在 Õ(sk + √min{st,n}) 轮内实现 (2+ε)-近似比的确定性算法，并在 Õ(k + min{s,√n} + D) 轮内以高概率实现 O(log n)-近似比，与一个紧致的下界 Õ(k + min{s,√n} + D) 完全匹配。

ABSTRACT

We present new distributed algorithms for constructing a Steiner Forest in the CONGEST model. Our deterministic algorithm finds, for any given constant $ε>0$, a $(2+ε)$-approximation in $ ilde{O}(sk+\sqrt{\min(st,n)})$ rounds, where $s$ is the shortest path diameter, $t$ is the number of terminals, $k$ is the number of terminal components in the input, and $n$ is the number of nodes. Our randomized algorithm finds, with high probability, an $O(\log n)$- approximation in time $ ilde{O}(k+\min(s,\sqrt n)+D)$, where $D$ is the unweighted diameter of the network. We also prove a matching lower bound of $ ildeΩ(k+\min(s,\sqrt{n})+D)$ on the running time of any distributed approximation algorithm for the Steiner Forest problem. Previous algorithms were randomized, and obtained either an $O(\log n)$-approximation in $ ilde{O}(sk)$ time, or an $O(1/ε)$-approximation in $ ilde{O}((\sqrt{n}+t)^{1+ε}+D)$ time.

研究动机与目标

• 填补大规模网络中 Steiner Forest 问题高效分布式算法的空白。
• 改进先前的随机化算法，这些算法在 Õ(sk) 时间内实现 O(log n)-近似比，或在 Õ((√n + t)^{1+ε} + D) 时间内实现 O(1/ε)-近似比。
• 在近似比与轮数复杂度之间实现更优的权衡，尤其适用于最短路径直径较小或终端组件较少的网络。
• 建立近乎匹配的下界，以证明所提算法在轮数复杂度方面的最优性。

提出的方法

• 在终端集的聚拢图上使用确定性池塘扩展算法，构建 (2+ε)-近似解。
• 在终端集 T ∪ S 上构建稀疏聚拢图，其中 S 是 √n 个节点的随机集合，以降低通信开销。
• 应用虚拟树嵌入技术，在更小、更结构化的图上模拟解，同时保持近似保证。
• 通过多次运行随机化算法并结合共识步骤，以高概率选择最优解。
• 使用 F-缩减实例技术，在初始部分解获得后，递归求解剩余的连通性需求。
• 利用聚拢图与最短路径直径的结构，界定计算与通信所需的轮数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种确定性分布式算法，实现 (2+ε)-近似比，且轮数复杂度优于先前的随机化方法？
• RQ2 能否将随机化算法的轮数复杂度降低至 Õ(k + min{s,√n} + D)，同时保持 O(log n)-近似比？
• RQ3 所提轮数复杂度是否在对数因子范围内紧致？能否证明匹配的下界？
• RQ4 算法性能如何随终端组件数 k、最短路径直径 s 与网络直径 D 的变化而变化？
• RQ5 能否通过聚拢图构造与虚拟树嵌入的结合，在分布式环境中同时实现强近似比与低通信复杂度？

主要发现

• 确定性算法在 Õ(sk + √min{st,n}) 轮内实现 (2+ε)-近似比，优于先前需要 Õ((√n + t)^{1+ε} + D) 时间的 O(1/ε)-近似算法。
• 随机化算法以高概率在 Õ(k + min{s,√n} + D) 轮内计算出 O(log n)-近似解，其复杂度在对数因子范围内最优。
• 证明了任何实现非平凡近似比的分布式算法均存在 Õ(k + min{s,√n} + D) 的紧致下界，从而确立了随机化算法的最优性。
• 当输入以终端之间的连接请求形式给出时，存在 Õ(t + min{s,√n} + D) 的下界，该下界在对数因子范围内紧致。
• 算法设计利用了在 √n 个节点的随机子集上构建的聚拢图，以及经修改的池塘扩展算法，以确保低近似比与通信效率。
• 通过多次随机化运行与共识步骤的结合，确保以高概率选择最优解，同时维持 O(log n)-近似保证。