[论文解读] Improved Lower Bounds for the Shortest Superstring and Related Problems

Marek Karpiński, Richard Schmied|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2011

Algorithms and Data Compression参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的归约技术，构建了具有最大轨道大小8且所有字符串长度不超过4的最短超串问题的高度约束实例。利用该方法，作者显著提升了已知的最佳近似下界，确立了该问题近似困难性因子优于333/332 ≈ 1.00301，且类似地收紧了最大压缩和MAX-ATSP问题的界限。

ABSTRACT

We study the approximation hardness of the Shortest Superstring, the Maximal Compression and the Maximum Asymmetric Traveling Salesperson (MAX-ATSP) problem. We introduce a new reduction method that produces strongly restricted instances of the Shortest Superstring problem, in which the maximal orbit size is eight (with no character appearing more than eight times) and all given strings having length four. Based on this reduction method, we are able to improve the best up to now known approximation lower bound for the Shortest Superstring problem and the Maximal Compression problem by an order of magnitude. The results imply also an improved approximation lower bound for the MAX-ATSP problem.

研究动机与目标

• 在高度受限的实例类别下，建立最短超串问题更强的近似困难性结果。
• 改进最短超串、最大压缩和MAX-ATSP问题的已知显式近似下界。
• 开发一种新的归约框架，生成轨道大小有界（≤8）且字符串长度较短（≤4）的实例，以实现更紧密的困难性分析。
• 证明即使在这些强约束下，问题仍难以在优于333/332的因子内近似。
• 通过收紧不可近似性阈值，弥合现有近似算法与高效近似极限之间的差距。

提出的方法

• 设计一种新型归约方法，将带有二元和三元方程的混合问题实例映射为具有严格约束的最短超串问题实例：最大轨道大小为8，且所有字符串长度不超过4。
• 为含两个和三个变量的方程构建专用字符串构件，利用循环重叠模式和对称字符串排列来编码变量赋值。
• 引入规范化超串变换，保持长度不变的同时，支持从超串中多项式时间重建变量赋值。
• 利用混合问题中未满足方程与超串长度增加之间的对应关系，将近似比与解的质量相关联。
• 证明长度为7n + 5m₂ + 16m₃ + u的超串对应于至多满足u个方程的赋值，反之亦然。
• 利用所得对应关系，通过将未满足方程数与压缩损失及超串长度关联，推导出显式的不可近似性比率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高度受限的实例类别（如轨道大小有界和字符串长度短）下，最短超串问题的近似困难性是否可以进一步提升？
• RQ2 当所有字符串长度不超过4且任一字符出现次数不超过八次时，最短超串问题的最佳可能近似比是多少？
• RQ3 能否通过类似归约方法进一步收紧最大压缩和MAX-ATSP问题的不可近似性阈值？
• RQ4 在如此受限的实例下，是否可能为最短超串问题实现超常数近似下界？
• RQ5 能否设计一种新型归约框架，在保持强不可近似性结果的同时，生成结构复杂度最小的实例？

主要发现

• 作者确立了最短超串问题在所有字符串长度不超过4且任一字符出现次数不超过八次的条件下，难以在优于333/332 ≈ 1.00301的因子内近似。
• 该结果将最短超串问题此前的最佳近似下界提升了整整一个数量级，由接近1.00082提升至1.00301。
• 相同的归约框架亦为最大压缩问题提供了改进的不可近似性结果，下界为333/332。
• 同样构造下，MAX-ATSP问题也被证明难以在优于333/332的因子内近似。
• 该归约是多项式时间可计算的，并保持了变量赋值与超串长度/压缩量之间的对应关系，从而支持紧密的困难性分析。
• 该方法表明，即使在极端受限的实例类别下——轨道大小有界且字符串长度短——这些问题仍具有高度不可近似性。