[论文解读] Improved Young Tower and Thermodynamic Formalism for Hyperbolic Systems with Singularities

Jianyu Chen, Fang Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用 3

一句话总结

本文通过利用标准族的耦合引理，确保首次返回塔基的映射为马尔可夫，从而为具有奇点的双曲系统（如混沌散射系统）构建了改进的杨塔。由此产生的可数状态马尔可夫划分使得在SRB测度下能够严格推导出随机性质——如相关系数的指数衰减和中心极限定理——并利用诱导方案建立了几何势能的完整热力学形式体系。

ABSTRACT

For the hyperbolic systems with singularities, Markov partitions are rather delicate to construct because of the fragmentation of the phase space by singularities. In this paper, we investigate the chaotic billiards and other related hyperbolic systems with singularities, and construct an improved Young tower whose first return to the base is Markov. This leads to a Markov partition of the phase space with countable states. %Our construction is based on the coupling lemma %for standard families. Stochastic properties with respect to the SRB measure immediately follow from our construction of the Markov partition, including the decay rates of correlations and the central limit theorem. We further establish the thermodynamic formalism for the family of geometric potentials, by using the inducing scheme of hyperbolic type on the tower base. All the results apply to Sinai dispersing billiards, and their small perturbations due to external forces and nonelastic reflections with kicks and slips.

研究动机与目标

• 为解决由于相空间碎片化导致在具有奇点的双曲系统中构造马尔可夫划分的挑战。
• 开发一种改进的杨塔构造方法，使得首次返回塔基的映射为马尔可夫，从而确保可数状态马尔可夫划分。
• 利用新塔结构在SRB测度下推导出随机性质（如相关系数衰减和中心极限定理）。
• 通过塔基上的诱导方案，为具有奇点系统的几何势能建立热力学形式体系。
• 将结果扩展至西诺分散散射系统及其扰动，包括外力、非弹性反射以及滑动与冲击效应。

提出的方法

• 利用标准族的耦合引理控制奇点附近的动力学，确保塔构造中的马尔可夫结构。
• 构建一个改进的杨塔，其塔基满足首次返回映射为马尔可夫，从而实现相空间的可数状态马尔可夫划分。
• 在塔基上应用双曲型诱导方案，分析几何势能的热力学形式体系。
• 通过利用马尔可夫结构与SRB测度，建立随机性质，包括相关系数衰减与极限定理。
• 将该框架适配于包含外力、非弹性反射以及滑动/冲击效应等扰动的散射系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管存在相空间碎片化，如何在具有奇点的双曲系统中构造马尔可夫划分？
• RQ2 在具有奇点的系统中，能否使首次返回塔基的映射为马尔可夫，以实现可数状态划分？
• RQ3 从改进的塔结构中，可以严格推导出哪些随机性质（如相关系数衰减与中心极限定理）？
• RQ4 如何通过诱导方案为具有奇点系统的几何势能建立热力学形式体系？
• RQ5 这些结果在多大程度上可推广至西诺分散散射系统及其扰动，包括非理想反射与外力作用？

主要发现

• 改进的杨塔构造确保首次返回塔基为马尔可夫，从而为具有奇点的双曲系统提供了可数状态马尔可夫划分。
• 利用新马尔可夫结构，在SRB测度下建立了相关系数指数衰减与中心极限定理等随机性质。
• 通过在塔基上应用诱导方案，成功发展了几何势能的热力学形式体系，使压力与平衡态的分析成为可能。
• 该结果适用于西诺分散散射系统及其小扰动，包括外力、非弹性反射以及滑动/冲击效应的系统。
• 标准族的耦合引理在管理奇点与确保塔构造中马尔可夫性质方面起到了关键作用。