[论文解读] Incorporating Voice Permutations into the Theory of Neo-Riemannian Groups and Lewinian Duality

Thomas M. Fiore, Thomas Noll+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2013

Musicology and Musical Analysis参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文通过将声部置换纳入 $T/I$-$PLR$ 对偶框架，解决了新里德曼理论中的一个基础性问题，表明作用于具有不同音高类的 $n$-元组上的置换群的对偶群，同构于 $\mathbb{Z}_{12}\to\mathbb{Z}_{12}$ 上置换与仿射映射的对偶群的内部直积。关键结果是，此前因存在不动点而存在问题的 $\mathrm{RICH}$ 变换，在限制于八音音阶子集时，成为简单传递群作用的一部分，从而在勋伯格《作品7》和李斯特《S. 201》等音乐实例中实现了稳定的密勒式声部进行。

ABSTRACT

A familiar problem in neo-Riemannian theory is that the P, L, and R operations defined as contextual inversions on pitch-class segments do not produce parsimonious voice leading. We incorporate permutations into T/I-PLR-duality to resolve this issue and simultaneously broaden the applicability of this duality. More precisely, we construct the dual group to the permutation group acting on n-tuples with distinct entries, and prove that the dual group to permutations adjoined with a group G of invertible affine maps Z12 -> Z12 is the internal direct product of the dual to permutations and the dual to G. Musical examples include Liszt, R. W. Venezia, S. 201 and Schoenberg, String Quartet Number 1, Opus 7. We also prove that the Fiore--Noll construction of the dual group in the finite case works, and clarify the relationship of permutations with the RICH transformation.

研究动机与目标

• 为解决新里德曼理论中声部进行简约性与 $PLR$ 变换之间的不一致问题，后者因 $\mathrm{RICH}$ 变换的不动点而无法产生简约声部进行。
• 将经典 $T/I$-$PLR$ 对偶性扩展至音高类片段中的声部置换，从而拓展转换音乐理论的适用范围。
• 证明置换群与 $T/I$ 群的半直积的对偶群，是其各分量对偶群的内部直积。
• 阐明 $\mathrm{RICH}$ 变换在声部进行简约性语境下的作用，及其与受限音高类集合上简单传递群作用的相容性。

提出的方法

• 利用 Fiore–Noll 对偶框架，构建作用于 $\mathbb{Z}_{12}$ 中具有不同元素的 $n$-元组上的置换群的对偶群。
• 证明置换群 $\Sigma_n$ 与 $T/I$ 群的半直积的对偶群，是 $\Sigma_n$ 的对偶群与 $T/I$ 的对偶群的内部直积。
• 将 $\mathrm{RICH}$ 变换定义为声部交换 $(1\;3)$ 与语境反转 $J^{2,3}$ 的复合，以建模倒影转位的链式关系。
• 分析 $\mathrm{RICH}$ 在全部 144 种大小三和弦与小三和弦排列上的循环分解，以识别不动点与轨道结构。
• 将 $\mathrm{RICH}$ 的作用限制于八音音阶子集（例如 $\{0,2,3,4,6,7,9,10\}$），以消除不动点并实现简单传递群作用。
• 通过显式循环记号与音乐实例（勋伯格《作品7》、李斯特《S. 201》）证明 $\mathrm{RICH}$ 在特定子集上实现简单传递作用，从而实现简约声部进行。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何形式化地将声部置换纳入 $T/I$-$PLR$ 对偶框架，以恢复声部进行的简约性？
• RQ2 为何 $\mathrm{RICH}$ 变换在全部 144 个有序三和弦上无法实现简单传递作用，且该问题是否可被修正？
• RQ3 在新里德曼理论中，当置换群与 $T/I$ 群结合时，其对偶群的群论结构为何？
• RQ4 能否将 $\mathrm{RICH}$ 变换嵌入受限音高类片段上的简单传递群作用中？若可，其条件为何？
• RQ5 在不同三和弦子集（如八音音阶）上，$\mathrm{RICH}$ 的循环分解如何与音乐声部进行及转换网络相关联？

主要发现

• 置换群 $\Sigma_n$ 与 $T/I$ 群的半直积的对偶群，同构于 $\Sigma_n$ 的对偶群与 $T/I$ 的对偶群的内部直积，从而解决了对偶理论中的一个基础性问题。
• $\mathrm{RICH}$ 变换定义为 $(1\;3) \circ J^{2,3}$，当作用于全部 144 种大小三和弦排列时存在不动点，因此无法构成简单传递群作用。
• 当限制于八音音阶子集（如 $\{0,2,3,4,6,7,9,10\}$）时，$\mathrm{RICH}$ 变换实现简单传递作用，其循环分解中无不动点，可证实此结论。
• $\mathrm{RICH}$ 变换包含长度为 24（如 $RL$）、8（如 $PR$）和 6（如 $PL$）的循环，其 6 次与 8 次幂存在不动点，证实其在全集上并非简单传递作用。
• 勋伯格《第一弦乐四重奏》作品7与李斯特《*Venezia e destruzione*》，S. 201 的音乐实例表明，$\mathrm{RICH}$ 在八音音阶子集上实现简单传递作用，从而支持简约声部进行。
• $\mathrm{RICH}$ 变换在八度音阶 $\{2,3,5,6,8,9,11,0\}$ 上的作用包含一个长度为 8 的循环，与第 8–10 小节中大提琴主题完全匹配，证实其音乐相关性。