[论文解读] Independent Set Size Approximation in Graph Streams

Graham Cormode, Jacques Dark+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文提出了用于近似图的Caro-Wei界β(G)的高效空间流算法，该界是图最大独立集大小的一个下界。在顶点到达顺序下，该算法可在亚对数空间内实现准确近似，同时证明了在任意边到达顺序下，对常数因子c-近似的空间下界为Ω(n/(βc²))，从而确立了流模型中计算可行性的紧致界限。

ABSTRACT

We study the problem of estimating the size of independent sets in a graph $G$ defined by a stream of edges. Our approach relies on the Caro-Wei bound, which expresses the desired quantity in terms of a sum over nodes of the reciprocal of their degrees, denoted by $β(G)$. Our results show that $β(G)$ can be approximated accurately, based on a provided lower bound on $β$. Stronger results are possible when the edges are promised to arrive grouped by an incident node. In this setting, we obtain a value that is at most a logarithmic factor below the true value of $β$ and no more than the true independent set size. To justify the form of this bound, we also show an $Ω(n/β)$ lower bound on any algorithm that approximates $β$ up to a constant factor.

研究动机与目标

• 设计用于在边顺序到达的大规模图中估计最大独立集大小的高效空间流算法。
• 利用Caro-Wei界β(G) = Σ_v 1/(deg(v)+1) 作为独立数α(G)的可计算代理，因为α(G)精确计算是NP难的。
• 刻画近似精度、空间使用与到达顺序模型（任意 vs. 顶点分组边到达）之间的权衡。
• 建立对β(G)常数因子近似的紧致空间下界，揭示流算法的固有局限性。
• 证明在顶点到达顺序下可实现更优近似，即边从每个节点同时到达，从而支持亚对数空间算法。

提出的方法

• 本文使用Caro-Wei界β(G)作为独立数α(G)的组合代理，已知其满足α(G) ≥ β(G)。
• 在任意边到达情况下，算法使用蓄水池采样与频率矩估计来近似β(G)，其空间复杂度依赖于β(G)的下界。
• 在顶点到达顺序下，算法将每个节点及其关联边一并处理，从而实现在亚对数空间内的更精确近似。
• 该方法依赖于从通信复杂性问题不相交性（DISJ）问题的归约来证明空间下界，表明任何c-近似都需要Ω(n/(βc²))的空间。
• 构造使用具有结构化团和孤立顶点的图族，通过集合交集放大β(G)的差异，从而实现DISJ归约。
• 分析区分两种情形：X ∩ Y = ∅（β(G)较高）与X ∩ Y ≠ ∅（β(G)较低），从而在两者之间制造间隙，实现对DISJ输入的区分。

实验结果

研究问题

• RQ1 Caro-Wei界β(G)能否在图流模型中高效近似，特别是在亚对数空间内？
• RQ2 边的到达顺序（任意 vs. 顶点分组）如何影响估计β(G)时的空间-近似权衡？
• RQ3 在任意边到达模型下，实现β(G)常数因子近似所需的最小空间是多少？
• RQ4 Caro-Wei界能否用于在大规模图中以亚线性空间近似最大独立集大小？
• RQ5 在流模型中，β(G)的近似程度是否存在根本性限制？若存在，其界限是什么？

主要发现

• 提出了一种在顶点到达模型下，使用亚对数空间将β(G)近似到O(log n)因子内的算法，其近似值最多比真实β(G)低一个对数因子。
• 在任意边到达情况下，当已知β(G)的下界时，算法使用空间O(β/ε²)实现β(G)的(1+ε)-近似，且β越大则性能越优。
• 证明了任何对β(G)常数因子c近似的算法，其空间下界为Ω(n/(βc²))，表明β的依赖关系在对数因子内达到最优。
• 该下界通过从不相交性问题（DISJ）的归约建立，表明区分β(G) ≈ z与β(G) ≈ z(2c²+1)的图需要Ω(n/(zc²))比特空间。
• 结果表明，尽管在顶点到达顺序下可实现良好近似，但在任意边到达模型中，尤其当β(G)较小时，空间约束更为严格。
• 本文证明Caro-Wei界是流图中独立集大小的可行且可分析的代理，支持高效算法设计与强下界分析。