[论文解读] Index theory for actions of compact Lie groups on C*-algebras

Charlotte Wahl|ArXiv.org|Jul 21, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用 13

一句话总结

本文为紧李群在C*-代数上的作用建立了系统的指标理论，证明了对这类群而言，饱和作用与主作用等价。它从不变狄拉克算子构造了半有限谱三元组，并证明了一个指标定理，将K-理论配对与KK-理论类 [D/] 联系起来，推广了环面作用的结果，并与对偶Pimsner-Voiculescu序列相联系。

ABSTRACT

We study the index theory for actions of compact Lie groups on C*-algebras with an emphasis on principal actions. Given an invariant semifinite trace on the C*-algebra we obtain semifinite spectral triples. For circle actions we consider the relation to the dual Pimsner-Voiculescu sequence. On the way we show that the notions ``saturated'' and ``principal'' are equivalent for actions by compact Lie groups.

研究动机与目标

• 为紧李群在C*-代数上的作用发展系统的指标理论。
• 澄清在紧李群背景下“饱和”与“主”作用概念之间的关系。
• 从群作用上的不变狄拉克算子构造半有限谱三元组。
• 建立K*(A)与KK-理论类 [D/] 配对的指标定理，将其与圆作用情形下的对偶Pimsner-Voiculescu序列联系起来。
• 将现有谱三元组与指标不变量的构造推广至饱和作用，包括高阶图C*-代数与量子主丛。

提出的方法

• 在C*-代数上的诱导G-丛的光滑截面中定义伪微分演算，使用C∞(G, A)上的不变算子。
• 在K-理论中构造一个阿蒂亚-辛格型正合序列，其中交叉积代数A×αG充当紧算子的角色。
• 利用紧李群G上的不变狄拉克算子在KK*(A, A×αG)中定义一个椭圆元素D/，从而得到类 [D/]。
• 当A配备有不变的半有限忠实迹时，通过交叉积的冯诺依曼代数，将一个半有限谱三元组与一个不变狄拉克算子相关联。
• 利用先前工作的结果（Wahl, 2010），证明K*(A)与 [D/] 配对的指标等于K*(A×αG)中指标的迹。
• 建立KK-理论类 [D/] 与文献中由希尔伯特Aα-模构造所得类之间的莫里塔等价，推广了图C*-代数的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于紧李群在C*-代数上的作用，“饱和”与“主”作用的概念是否等价？
• RQ2 如何系统地发展紧李群作用的指标理论，类似于主丛上竖直椭圆算子的理论？
• RQ3 从不变狄拉克算子导出的KK-理论类 [D/] 与文献中的谱三元组构造之间有何关系，特别是针对图C*-代数？
• RQ4 在圆作用情形下，K*(A)与 [D/] 的指标配对如何与对偶Pimsner-Voiculescu序列关联？
• RQ5 在高阶图C*-代数上的饱和作用情形下，交叉积的冯诺依曼代数是否同构于其自身？

主要发现

• 对于紧李群在C*-代数上的作用，“饱和”与“主”作用的概念是等价的。
• 对于紧李群G上的任意不变狄拉克算子，可构造一个KK*(A, A×αG)中的类 [D/]，该类为椭圆类，当A配备有不变的半有限忠实迹时，可诱导出一个半有限谱三元组。
• 建立了K*(A)与 [D/] 配对的指标定理，其结果与先前工作（Wahl, 2010）中证明的指标定理一致。
• 在圆作用情形下，对偶Pimsner-Voiculescu序列中的六个映射被识别为与 [D/] 的卡斯帕尔夫积，从而将指标理论与K-理论计算联系起来。
• 从不变狄拉克算子构造半有限谱三元组的方法，推广并统一了图C*-代数与非交换环面的先前结果。
• 证明了紧李群在紧量子群上的作用是饱和的，将理论扩展至量子主丛。