[论文解读] Inference for Empirical Wasserstein Distances on Finite Spaces

Max Sommerfeld, Axel Munk|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 62被引用 6

一句话总结

本文通过证明经验 Wasserstein 距离在有限度量空间上的渐近分布源于具有随机目标函数的随机线性规划的最优值，从而建立了其渐近分布，使严格的统计推断（如置信区间）成为可能。关键贡献是通过方向性 Hadamard 可微性建立 Wasserstein 距离的中心极限定理，克服了经典自助法在该场景下的失效问题。

ABSTRACT

The Wasserstein distance is an attractive tool for data analysis but statistical inference is hindered by the lack of distributional limits. To overcome this obstacle, for probability measures supported on finitely many points, we derive the asymptotic distribution of empirical Wasserstein distances as the optimal value of a linear program with random objective function. This facilitates statistical inference (e.g. confidence intervals for sample based Wasserstein distances) in large generality. Our proof is based on directional Hadamard differentiability. Failure of the classical bootstrap and alternatives are discussed. The utility of the distributional results is illustrated on two data sets.

研究动机与目标

• 为缺乏一般设定下分布极限的经验 Wasserstein 距离提供统计推断能力。
• 解决经典自助法在有限空间中对 Wasserstein 距离失效的问题。
• 通过方向性 Hadamard 可微性，建立经验 Wasserstein 距离的中心极限定理。
• 为置信区间、假设检验及 Wasserstein 距离的多重比较提供框架。
• 将适用范围扩展至依赖样本及其他与运输相关的泛函。

提出的方法

• 将有限空间上的 Wasserstein 距离表述为具有随机目标函数的线性规划，其中经验测度为输入。
• 通过线性规划最优值映射的方向性 Hadamard 可微性，推导出渐近正态性。
• 将极限分布表征为由线性规划对偶变量索引的高斯过程。
• 该方法避免依赖经典自助法，后者已被证明在 Wasserstein 距离上失效。
• 该方法适用于任意代价矩阵，包括 $ p < 1 $ 的度量所导出的矩阵，并可扩展至依赖样本。
• 通过真实数据集验证了理论结果，展示了其在临床和宏基因组学应用中的实际效用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般条件下，能否推导出有限空间上经验 Wasserstein 距离的渐近分布？
• RQ2 标准的 $ n $-out-of-$ n $ 自助法为何对 Wasserstein 距离失效，以及何种替代自助法有效？
• RQ3 如何为基于样本的 Wasserstein 距离构建统计推断（如置信区间）？
• RQ4 在原假设与备择假设下，有限空间中经验 Wasserstein 距离的收敛速率是多少？
• RQ5 该方法能否扩展至其他最优传输泛函（如重心或熵正则化距离）？

主要发现

• 有限空间上经验 Wasserstein 距离的渐近分布被推导为具有随机目标函数的线性规划的最优值，从而支持统计推断。
• 极限分布是非退化的高斯分布，通过最优值映射的方向性 Hadamard 可微性推导得出。
• $ n $-out-of-$ n $ 自助法对 Wasserstein 距离失效，但当 $ m/n \to 1 $ 时，$ m $-out-of-$ n $ 自助法具有一致性。
• 在原假设下，缩放速率为 $ n^{1/4} $，而在备择假设下为 $ n^{1/2} $，反映出不同的收敛行为。
• 该方法适用于任意代价矩阵，包括 $ p < 1 $ 的非度量矩阵，并可扩展至依赖样本。
• 该框架通过方向性可微性支持对 Wasserstein 重心、测地线主成分分析及其他基于运输的泛函的推断。