[论文解读] Infinite-Dimensional Representations of 2-Groups

John C. Baez, Aristide Baratin+2 more|Dec 29, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 66被引用 15

一句话总结

本文通过可测范畴——希尔伯特空间的范畴类比——发展了2-群的无穷维表示理论，实现了群表示理论的范畴化。它为骨架可测2-群中的表示、交错映射及2-交错映射建立了几何框架，引入了交错映射的直和与不可收缩表示等概念，并提出具有额外结构的可测范畴作为‘可分2-希尔伯特空间’，从而在表示理论、测度论与量子引力模型之间建立桥梁。

ABSTRACT

A "2-group" is a category equipped with a multiplication satisfying laws like those of a group. Just as groups have representations on vector spaces, 2-groups have representations on "2-vector spaces", which are categories analogous to vector spaces. Unfortunately, Lie 2-groups typically have few representations on the finite-dimensional 2-vector spaces introduced by Kapranov and Voevodsky. For this reason, Crane, Sheppeard and Yetter introduced certain infinite-dimensional 2-vector spaces called "measurable categories" (since they are closely related to measurable fields of Hilbert spaces), and used these to study infinite-dimensional representations of certain Lie 2-groups. Here we continue this work. We begin with a detailed study of measurable categories. Then we give a geometrical description of the measurable representations, intertwiners and 2-intertwiners for any skeletal measurable 2-group. We study tensor products and direct sums for representations, and various concepts of subrepresentation. We describe direct sums of intertwiners, and sub-intertwiners - features not seen in ordinary group representation theory. We study irreducible and indecomposable representations and intertwiners. We also study "irretractable" representations - another feature not seen in ordinary group representation theory. Finally, we argue that measurable categories equipped with some extra structure deserve to be considered "separable 2-Hilbert spaces", and compare this idea to a tentative definition of 2-Hilbert spaces as representation categories of commutative von Neumann algebras.

研究动机与目标

• 将2-群表示理论从有限维2-向量空间扩展至更广范围，因为后者不足以描述李2-群。
• 基于可测场的希尔伯特空间，利用测度论工具，为无穷维表示建立严谨框架。
• 将经典群表示理论中的概念（如子表示、不可约性与张量积）推广至2-范畴设定。
• 引入并研究标准表示理论中不存在的新特征，包括交错映射的直和与不可收缩表示。
• 提出具有附加结构的可测范畴作为‘可分2-希尔伯特空间’的候选，连接表示理论与量子引力。

提出的方法

• 通过可测场的希尔伯特空间与直积分，将可测范畴形式化为2-范畴 ${\bf{Meas}}$。
• 为骨架可测2-群 $\mathcal{G}$ 构造表示的2-范畴 $\mathbf{2Rep}(\mathcal{G})$，其中对象为可测函子，1-态射为交错的自然变换，2-态射为修正。
• 应用测度论工具，包括勒贝格分解、拉东-尼科迪姆导数与几何平均测度，分析表示的结构与等价性。
• 利用可测群 $G$ 在可测空间 $X$ 上的作用，构造齐性空间 $G/S$，并配备拟不变测度，从而实现诱导表示的构造。
• 引入‘可测群’的概念，并证明 $H^*$（庞特里亚金对偶）是可测的当且仅当可数个生成元的自由阿贝尔群不是 $\mathrm{Ab}(H)$ 的离散子群。
• 通过 $C(H, \mathbb{C}^\times)$ 上的紧开拓扑，证明了 $G$ 在 $H^*$ 上的作用是连续的，确保对偶群构造中的拓扑一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当有限维2-向量空间不足以描述时，如何系统地构造李2-群的无穷维表示？
• RQ2 可测2-群中表示、交错映射与2-交错映射的几何与范畴结构为何？
• RQ3 在2-群表示理论中，哪些新范畴特征（如交错映射的直和或不可收缩表示）是标准群表示理论中所不具备的？
• RQ4 可测群 $H$ 的对偶群 $H^*$ 何时本身是可测的？这与 $\mathrm{Ab}(H)$ 的结构有何关联？
• RQ5 具有附加结构的可测范畴能否被视为‘可分2-希尔伯特空间’？与基于交换冯诺依曼代数的其他定义相比，其关系如何？

主要发现

• 可测范畴构成一个定义良好的2-范畴 ${\bf{Meas}}$，可支持2-群的无穷维表示，推广了卡普兰诺夫-福沃多斯基2-向量空间。
• 可测群 $H$ 的对偶群 $H^*$ 是可测的当且仅当可数个生成元的自由阿贝尔群不是 $\mathrm{Ab}(H)$ 的离散子群，该条件在 $H$ 具有有限个连通分支时成立。
• 可测群 $G$ 通过 $\chi_g[h] = \chi[g \triangleright h]$ 作用于对偶群 $H^*$ 的作用是连续的，确保了表示框架中的拓扑一致性。
• 可测群 $G$ 的闭子群 $S$ 的可测齐性空间 $G/S$ 是波兰空间，配备博雷尔 $\sigma$-代数，且存在非平凡的拟不变测度，所有此类测度彼此等价。
• 该理论引入了新范畴特征：交错映射与子交错映射的直和，以及‘不可收缩’表示的概念——这些在标准群表示理论中均不存在。
• 具有附加结构（如相容内积与直积分）的可测范畴应被视为‘可分2-希尔伯特空间’，为范畴化量子力学与量子引力中的自旋泡沫模型提供候选框架。